Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice (determinare prin calcul)
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 6 cm. Notăm cu O centrul pătratului ABCD. Realizați un desen și calculați: a. d(A, C′); b. d(A, (BDD′)); c. d(A, B′D′). Justificați identificarea fiecărui segment a cărui lungime reprezintă distanța cerută.
2. ABCDA′B′C′D′ este un paralelipiped dreptunghic cu AB = 20 cm, AD = 15 cm și AA′ = 16 cm. Fie P proiecția punctului A pe dreapta BD. a. Calculați d(A, BD). b. Demonstrați, folosind teorema celor trei perpendiculare, că A′P ⊥ BD și calculați d(A′, BD). c. Determinați tangenta unghiului dintre planele (A′BD) și (ABC).
3. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu muchia bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a. Calculați lungimea apotemei VM a piramidei. b. Determinați d(O, (VBC)). c. Arătați că dreapta AD este paralelă cu planul (VBC) și calculați d(A, (VBC)). d. Calculați tangenta unghiului format de muchia laterală VA cu planul bazei.
4. Fie ABCA′B′C′ o prismă triunghiulară regulată cu muchia bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA′ = 3 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a. Arătați că A′M ⊥ BC și calculați d(A′, BC). b. Determinați măsura unghiului dintre planele (A′BC) și (ABC). c. Calculați d(A, (A′BC)).
5. ABCD este un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm. Notăm cu O centrul triunghiului ABC și cu M mijlocul muchiei BC. a. Calculați înălțimea tetraedrului, adică d(D, (ABC)). b. Identificați unghiul plan corespunzător unghiului dintre planele (DBC) și (ABC) și calculați cosinusul acestuia. c. Determinați măsura unghiului dintre dreptele AB și CD. Justificați răspunsul.
6. Un con circular drept are raza bazei R = 6 cm și generatoarea G = 10 cm. Triunghiul VAB este o secțiune axială a conului, iar O este centrul bazei. a. Calculați înălțimea conului. b. Determinați sinusul unghiului format de o generatoare cu planul bazei. c. Calculați distanța de la punctul O la dreapta VA. d. Calculați sinusul unghiului AVB, exprimând în două moduri aria triunghiului VAB.
7. Dreptunghiul ABB′A′ este secțiunea axială a unui cilindru circular drept cu raza R = 4 cm și generatoarea G = 6 cm (AB este diametru al bazei inferioare). Punctul C se află pe cercul bazei inferioare, astfel încât C este mijlocul unuia dintre arcele AB. a. Calculați lungimea diagonalei AB′ a secțiunii axiale. b. Determinați tangenta unghiului format de dreapta AB′ cu planul bazei. c. Calculați distanța de la punctul C la planul secțiunii axiale (ABB′). d. Calculați d(C, B′).
8. O sală de sport are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 12 m, lățimea de 4 m și înălțimea de 3 m. O lampă este fixată exact în centrul tavanului. a. Calculați lungimea unui cablu întins în linie dreaptă de la un colț al podelei până la colțul opus al tavanului (diagonala paralelipipedului). b. Determinați sinusul unghiului format de acest cablu cu podeaua. c. Calculați distanța de la lampă până la un colț al podelei. d. Care este distanța de la lampă până la cel mai apropiat perete? Justificați.