Dreaptă paralelă cu un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie cubul ABCDA′B′C′D′. Stabiliți poziția fiecărei drepte față de planul indicat. Dreapta poate fi inclusă în plan, secantă planului sau paralelă cu planul. Justificați fiecare răspuns. a) C′D′ și planul (ABB′); b) BD′ și planul (ADD′); c) B′D′ și planul (ABC); d) AC și planul (ACC′).
2. Trapezul ABCD are bazele AB și CD (AB ∥ CD). Planul α conține dreapta AB, dar nu conține punctul D. a) Arătați că dreapta CD este paralelă cu planul α. b) Ce poziție are dreapta AD față de planul α? Justificați.
3. Fie prisma triunghiulară dreaptă ABCA′B′C′. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv AC. Arătați că: a) MN ∥ (BCC′); b) MN ∥ (A′B′C′).
4. În tetraedrul ABCD, punctele P și Q sunt mijloacele muchiilor BC, respectiv BD. a) Arătați că PQ ∥ (ACD). b) Demonstrați că dreptele PQ și AC sunt necoplanare.
5. Stabiliți dacă fiecare afirmație de mai jos este adevărată sau falsă. Pentru fiecare afirmație falsă, dați un contraexemplu folosind muchiile și fețele unui cub ABCDA′B′C′D′. a) Dacă dreapta d este paralelă cu planul α, atunci d este paralelă cu orice dreaptă inclusă în α. b) Dacă d ∥ α și e ⊂ α, atunci dreptele d și e nu au niciun punct comun. c) Dacă două drepte sunt paralele cu același plan, atunci ele sunt paralele între ele. d) O dreaptă care nu este inclusă într-un plan și nu este paralelă cu el intersectează planul într-un singur punct.
6. Fie piramida patrulateră regulată VABCD. Punctul P este mijlocul muchiei VC. a) Arătați că AD ∥ (VBC). b) Planul (ADP) intersectează planul (VBC) după dreapta g. Arătați că g ∥ AD. c) Dreapta g intersectează muchia VB în punctul Q. Demonstrați că Q este mijlocul muchiei VB.
7. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ și un punct T, situat în exteriorul paralelipipedului, astfel încât C′T ∥ BD. a) Arătați că BD ∥ (A′B′C′). b) Demonstrați că dreapta C′T este inclusă în planul (A′B′C′). c) Arătați că C′T ∥ B′D′.
8. O cameră are forma paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′. Podeaua este ABCD, cu AB = 5 m și BC = 4 m, iar înălțimea camerei este AA′ = 3 m. Pe peretele ABB′A′ se montează o bară de perdea dreaptă, MN. Capătul M se află pe muchia AA′, iar capătul N pe muchia BB′, astfel încât AM = BN = 2,4 m. a) Arătați că bara MN este paralelă cu planul podelei (ABC). b) Arătați că bara MN este paralelă cu peretele opus, (DCC′). c) Calculați lungimea barei MN.