Puncte, drepte, plane

1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Precizați poziția relativă a dreptelor din fiecare pereche (concurente, paralele sau necoplanare): a) AB și C′D′; b) AA′ și CD; c) BC și CC′. Precizați apoi poziția dreptei față de plan (inclusă, secantă sau paralelă): d) AB față de planul (A′B′C′); e) AA′ față de planul (ABC); f) BC față de planul (ABD).

2. Se consideră 6 puncte A1, A2, …, A6, astfel încât oricare patru dintre ele sunt necoplanare. Determinați: a) numărul dreptelor distincte determinate de aceste puncte; b) numărul planelor distincte determinate de câte trei dintre aceste puncte. Justificați răspunsurile.

3. Punctele A, B, C, D aparțin planului α și oricare trei dintre ele sunt necoliniare, iar punctul E nu aparține planului α. Determinați: a) numărul dreptelor determinate de cele cinci puncte; b) numărul planelor determinate de câte trei dintre cele cinci puncte. Justificați răspunsurile.

4. Fie punctele distincte A, B, C, astfel încât AB = 5 cm, BC = 7 cm și AC = |x − 3| cm, unde x este un număr real. Aflați valorile lui x pentru care punctele A, B, C nu determină un plan.

5. O masă cu patru picioare se clatină uneori pe o podea denivelată, în timp ce un taburet cu trei picioare stă stabil pe orice suprafață. Explicați acest fapt, folosind o axiomă a geometriei în spațiu.

6. Fie punctele necoplanare A, B, C, D. Notăm cu M mijlocul segmentului BC și cu N mijlocul segmentului AB. Determinați dreapta de intersecție a planelor: a) (ADM) și (BCD); b) (ADM) și (ABC); c) (CDN) și (ABD). Justificați fiecare răspuns.

7. Semidreptele OX, OY și OZ formează unghiurile ∢XOY = 90°, ∢YOZ = 100° și ∢ZOX = 110°. Arătați, prin metoda reducerii la absurd, că semidreptele OX, OY și OZ sunt necoplanare.

8. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Demonstrați că dreptele AB și CD sunt necoplanare.