Unghi diedru. Unghi plan corespunzător diedrului. Unghiul a două plane. Plane perpendiculare
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabiliți dacă afirmațiile de mai jos sunt adevărate sau false. Justificați fiecare răspuns în una-două propoziții. a) Măsura unghiului a două plane concurente poate fi de 120°. b) Un unghi diedru plat are măsura de 180°. c) Fețele unui unghi diedru cu măsura de 90° sunt semiplane perpendiculare. d) Dacă planele α și β sunt paralele, atunci măsura unghiului lor este de 0°.
2. Planele α și β se intersectează după dreapta d. Punctul O aparține dreptei d. În planul α se duce dreapta AC, iar în planul β se duce dreapta BD, astfel încât AC ⊥ d, BD ⊥ d și AC ∩ BD = {O}. Punctele A și C sunt de o parte și de alta a lui O, la fel punctele B și D. Se știe că măsura unghiului AOB este de 50°. a) Determinați măsurile unghiurilor BOC, COD și DOA. b) Precizați ce reprezintă aceste unghiuri pentru diedrele formate de cele două plane. c) Determinați măsura unghiului dintre planele α și β.
3. Fie cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 6 cm, iar O centrul bazei ABCD. Determinați: a) măsura unghiului dintre planele (ABC) și (ADD′); b) măsura unghiului dintre planele (ABB′) și (ACC′); c) măsura unghiului dintre planele (ABC) și (A′B′C′); d) tangenta unghiului dintre planele (A′BD) și (ABC). Pentru punctele b) și d), indicați unghiul plan folosit și justificați alegerea lui.
4. În piramida patrulateră regulată VABCD, O este centrul bazei, AB = 8 cm și VO = 4 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC și cu N mijlocul muchiei AD. a) Arătați că VM ⊥ BC și OM ⊥ BC. b) Determinați măsura unghiului dintre planele (VBC) și (ABC). c) Arătați că planele (VBC) și (VAD) sunt perpendiculare.
5. a) Un triunghi cu aria de 24 cm² se proiectează pe un plan α. Planul triunghiului formează cu planul α un unghi de 60°. Calculați aria proiecției triunghiului pe planul α. b) Un pătrat cu latura de 6 cm se proiectează pe un plan β, iar aria proiecției este de 18√2 cm². Determinați măsura unghiului dintre planul pătratului și planul β.
6. Fie prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′, cu AB = 6 cm și AA′ = 3 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a) Arătați că unghiul A′MA este unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (A′BC) și (ABC). b) Calculați tangenta unghiului dintre planele (A′BC) și (ABC). c) Determinați măsura acestui unghi.
7. O ușă este prinsă în balamale de tocul unui perete vertical. Axa balamalelor este o dreaptă perpendiculară pe planul podelei. Ușa este deschisă astfel încât planul ei formează un unghi de 40° cu planul peretelui. a) Explicați, folosind definiția planelor perpendiculare, de ce planul ușii este perpendicular pe planul podelei, oricât de mult ar fi deschisă ușa. b) Precizați muchia diedrului format de planul ușii cu planul peretelui. Descrieți cum se poate construi un unghi plan al acestui diedru. c) Ce măsură are unghiul dintre planul ușii și planul podelei dacă ușa se deschide până la 75° față de perete? Justificați.
8. Fie tetraedrul DABC în care DA ⊥ (ABC), triunghiul ABC este dreptunghic în B, AB = 6 cm, BC = 8 cm și DA = 6√3 cm. a) Arătați că BC ⊥ (DAB). b) Demonstrați că planele (DBC) și (DAB) sunt perpendiculare. c) Determinați măsura unghiului dintre planele (DBC) și (ABC).