Recapitulare: elemente ale geometriei în spațiu – unghiuri, distanțe, arii și volume

1. ABCDA′B′C′D′ este un cub cu muchia de 6 cm. Completați spațiile punctate, astfel încât afirmațiile obținute să fie adevărate. Justificați pe scurt fiecare răspuns. a. m(∠(A′D, BC′)) = ......°; b. m(∠(A′B, AD′)) = ......°; c. d(A, (BDD′)) = ...... cm; d. d(C′, BD) = ...... cm; e. lungimea proiecției segmentului A′C pe planul (ABC) este ...... cm.

2. VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu muchia bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. M este mijlocul muchiei BC. a. Calculați lungimea apotemei VM a piramidei. b. Calculați aria laterală a piramidei. c. Calculați volumul piramidei. d. Determinați tangenta unghiului format de planele (VBC) și (ABC). e. Calculați distanța de la punctul O la planul (VBC).

3. Un con circular drept are raza bazei R = 6 cm și înălțimea h = 8 cm. Completați spațiile punctate, astfel încât afirmațiile obținute să fie adevărate, și scrieți calculele: a. Generatoarea conului are lungimea de ...... cm. b. Aria secțiunii axiale a conului este de ...... cm². c. Aria totală a conului este de ...... cm². d. Volumul conului este de ...... cm³. e. Unghiul sectorului de disc obținut prin desfășurarea suprafeței laterale a conului are măsura de ......°.

4. Un vas în formă de cilindru circular drept are raza bazei de 10 cm și înălțimea de 30 cm. Vasul este umplut cu apă până la 2/3 din înălțime. Se consideră π ≈ 3,14. a. Calculați volumul vasului, în cm³. b. Câți litri de apă sunt în vas? (1 L = 1 dm³ = 1000 cm³) c. Calculați aria secțiunii axiale a vasului. d. Calculați aria laterală a vasului.

5. O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 12 cm, BC = 4 cm și AA′ = 3 cm. a. Calculați lungimea diagonalei AC′ a paralelipipedului. b. Calculați aria totală a cutiei. c. Calculați volumul cutiei. d. Demonstrați că planele (ABB′) și (BCC′) sunt perpendiculare.

6. ABCD este un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm, iar M este mijlocul muchiei CD. a. Demonstrați că dreapta CD este perpendiculară pe planul (ABM). b. Deduceți că dreptele AB și CD sunt perpendiculare. c. Calculați înălțimea tetraedrului. d. Calculați aria totală a tetraedrului. e. Calculați volumul tetraedrului.

7. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. În punctul A se ridică perpendiculara AM pe planul (ABC), cu AM = 3,6 cm. Fie D piciorul înălțimii din A a triunghiului ABC. a. Calculați lungimea segmentului AD. b. Demonstrați că MD ⊥ BC. c. Calculați distanța de la punctul M la dreapta BC. d. Determinați tangenta unghiului format de planele (MBC) și (ABC). e. Calculați volumul tetraedrului MABC.

8. ABCA′B′C′ este o prismă triunghiulară regulată cu muchia bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA′ = 8 cm. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv AC, iar D este mijlocul muchiei BC. a. Arătați că dreapta MN este paralelă cu planul (BCC′). b. Determinați m(∠(AA′, BC)). c. Calculați aria laterală a prismei. d. Calculați volumul prismei. e. Calculați distanța de la punctul A′ la dreapta BC.