Dreaptă paralelă cu un plan. Plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Considerăm cubul ABCDA'B'C'D'. Stabiliți poziția fiecăreia dintre dreptele A'B, A'C', CC' și DC' față de planul (ABB'). Pozițiile posibile sunt: inclusă în plan, secantă planului sau paralelă cu planul. Justificați fiecare răspuns.
2. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei propoziții. Pentru propozițiile adevărate dați o justificare, iar pentru cele false descrieți un contraexemplu (de exemplu, într-un cub sau în sala de clasă). a) Dacă o dreaptă d este paralelă cu un plan α, atunci în planul α există o infinitate de drepte paralele cu d. b) Dacă două plane sunt paralele cu aceeași dreaptă, atunci planele sunt paralele între ele. c) Dacă α ∥ β și dreapta d este inclusă în α, atunci d ∥ β. d) Dacă o dreaptă d este paralelă cu două plane secante α și β, atunci d este paralelă cu dreapta de intersecție a planelor α și β.
3. Triunghiul ABC are latura BC inclusă în planul α, iar A ∉ α. Punctele M și N aparțin laturilor AB, respectiv AC. Stabiliți poziția dreptei MN față de planul α în fiecare situație și justificați: a) AM = 6 cm, MB = 4 cm, AN = 9 cm și AC = 15 cm; b) AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 5 cm și AC = 15 cm.
4. În tetraedrul SABC, punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor SA, SB, respectiv SC. a) Demonstrați că MN ∥ (ABC). b) Demonstrați că (MNP) ∥ (ABC). c) Știind că AB = 8 cm, BC = 10 cm și AC = 12 cm, calculați perimetrul triunghiului MNP.
5. Considerăm paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Demonstrați că planele (AB'D') și (C'BD) sunt paralele. Indicație: căutați două drepte concurente din planul (AB'D') care să fie paralele cu două drepte din planul (C'BD).
6. Considerăm prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', cu AB = 6 cm. Un plan α, paralel cu planul (ABC), intersectează muchiile AA', BB' și CC' în punctele M, N, respectiv P. a) Demonstrați că MN ∥ AB. b) Demonstrați că patrulaterul ABNM este paralelogram și deduceți că MN = AB. c) Precizați natura triunghiului MNP și calculați perimetrul lui.
7. În piramida patrulateră regulată VABCD, cu AB = 10 cm, punctul M este mijlocul muchiei VA. Planul (MBC) intersectează muchia VD în punctul N. a) Demonstrați că BC ∥ (VAD). b) Demonstrați că MN ∥ BC. c) Stabiliți poziția punctului N pe muchia VD și calculați lungimea segmentului MN. d) Precizați natura patrulaterului MNCB.
8. Într-o sală de sport, podeaua și tavanul sunt plane paralele. Două cabluri de susținere sunt întinse oblic între podea și tavan, astfel încât dreptele pe care se află cablurile sunt paralele. Primul cablu este fixat de podea în punctul A și de tavan în punctul B. Al doilea cablu este fixat de podea în punctul C și de tavan în punctul D. Primul cablu are lungimea AB = 5,4 m. a) Ce lungime are al doilea cablu? Justificați folosind proprietățile planelor paralele. b) Ce fel de patrulater este ABDC? Justificați.