Dreaptă paralelă cu un plan

1. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei afirmații și justificați răspunsul. Pentru afirmațiile false, dați un contraexemplu folosind un cub ABCDEFGH. a) Dacă dreapta d este paralelă cu planul α și dreapta d1 este inclusă în α, atunci d ∥ d1. b) Dacă d ∥ d1, d1 ⊂ α și d ⊄ α, atunci d ∥ α. c) Dacă două drepte distincte sunt paralele cu același plan, atunci ele sunt paralele între ele.

2. Desenați cubul ABCDEFGH, cu baza ABCD și muchiile laterale AE, BF, CG, DH. Scrieți toate dreptele determinate de câte două vârfuri ale cubului care sunt paralele cu planul (BCG). Justificați pentru una dintre ele.

3. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′. Demonstrați că dreapta B′D′ este paralelă cu planul (BDC′).

4. Piramida VABCD are baza pătratul ABCD. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor VA, respectiv VB. a) Demonstrați că MN ∥ (ABC). b) Demonstrați că MN ∥ (VCD).

5. Triunghiul ABC are latura BC inclusă în planul α, iar A ∉ α. Se știe că AC = 18 cm și BC = 15 cm. Punctul M aparține segmentului AB, astfel încât AM = 2 · MB, iar punctul N aparține segmentului AC, astfel încât MN ∥ α. a) Justificați că MN ∥ BC. b) Calculați lungimile segmentelor AN, NC și MN.

6. În tetraedrul ABCD, punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC, iar punctul P aparține muchiei AD, astfel încât AP = 2 · PD. Demonstrați că dreapta GP este paralelă cu planul (BCD).

7. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv A′B′. Demonstrați că: a) C′N ∥ (CMB′); b) AN ∥ (CMB′).

8. O bară de lumini MN este suspendată deasupra podelei unei săli cu ajutorul a două cabluri paralele, MP și NQ. Cablurile au aceeași lungime, de 1,5 m, iar punctele P și Q se află pe podea. Modelați situația folosind un plan α pentru podea și demonstrați că bara MN este paralelă cu podeaua. Precizați ce fel de patrulater este MNQP.