Dreaptă paralelă cu un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie cubul ABCDA'B'C'D'. Stabilește poziția fiecărei drepte față de planul indicat: dreaptă inclusă în plan, dreaptă secantă cu planul sau dreaptă paralelă cu planul. Justifică fiecare răspuns. a) B'C' față de planul (ABCD); b) BD' față de planul (ADD'); c) CD' față de planul (ABC'D'); d) A'C' față de planul (ACC').
2. Dreapta d este paralelă cu planul α, iar dreapta a este inclusă în planul α. a) Ce poziții poate avea dreapta d față de dreapta a? Explică de ce dreptele d și a nu pot fi concurente. b) Dă câte un exemplu pentru fiecare caz, folosind muchiile cubului ABCDA'B'C'D' și planul (ABCD).
3. Fie un plan α, punctele A, B ∈ α și un punct P ∉ α. Punctele M ∈ (PA) și N ∈ (PB) sunt astfel încât PM = 3 cm, MA = 6 cm, PN = 4 cm și NB = 8 cm. a) Demonstrează că dreapta MN este paralelă cu planul α. b) Știind că AB = 12 cm, calculează lungimea segmentului MN.
4. Fie un plan α, punctele A, B ∈ α și un punct P ∉ α. Punctele M ∈ (PA) și N ∈ (PB) sunt astfel încât PM = 4 cm, PN = 6 cm, NB = 9 cm și MA = x cm. a) Determină valoarea lui x pentru care dreapta MN este paralelă cu planul α. b) Pentru x = 5, stabilește poziția dreptei MN față de planul α. Justifică răspunsul.
5. Fie ABCD un tetraedru, iar M și N mijloacele muchiilor AB, respectiv AC. a) Demonstrează că dreapta MN este paralelă cu planul (BCD). b) Știind că BC = 10 cm, calculează lungimea segmentului MN. c) Este dreapta MN paralelă cu dreapta BD? Justifică răspunsul.
6. Fie cubul ABCDA'B'C'D'. Demonstrează că dreapta AB' este paralelă cu planul (BDC'). Indică dreapta din planul (BDC') cu care AB' este paralelă și redactează complet concluzia.
7. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V. Punctul O este centrul bazei ABCD, iar M este mijlocul muchiei VA. a) Demonstrează că dreapta AB este paralelă cu planul (VCD). b) Demonstrează că dreapta OM este paralelă cu planul (VBC). c) Știind că VA = AB = 8 cm, calculează lungimea segmentului OM.
8. Fie ABCD un tetraedru cu BC = 8 cm și AD = 6 cm, iar M este mijlocul muchiei AB. Un plan α trece prin M și este paralel cu dreptele BC și AD. Planul α intersectează muchiile AC, CD și BD în punctele N, P, respectiv Q. a) Folosind rezultatul „dacă d || α și planul β, care conține pe d, intersectează pe α după dreapta a, atunci a || d” (Teorema Umbrei), arată că MN || BC și că N este mijlocul muchiei AC. b) Demonstrează că MNPQ este un paralelogram. c) Calculează perimetrul patrulaterului MNPQ.