Unghi diedru, unghi plan corespunzător diedrului; unghiul a două plane; plane perpendiculare
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie cubul ABCDA'B'C'D'. a) Pentru unghiul diedru format de semiplanele mărginite de dreapta AB care conțin punctele D, respectiv A', precizează muchia și fețele diedrului. b) Construiește un unghi plan corespunzător acestui diedru și determină măsura lui. c) Determină măsura unghiului dintre planele (ABC) și (ABC'). Justifică alegerea unghiului plan. d) Poate măsura unghiului a două plane să fie de 120°? Explică.
2. Fie ABCDA'B'C'D' o prismă patrulateră regulată cu muchia bazei AB = 4 cm și muchia laterală AA' = 2√6 cm. Notăm {O} = AC ∩ BD. a) Arată că A'O ⊥ BD. b) Determină măsura unghiului dintre planele (A'BD) și (ABC).
3. Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V, latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 6 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimea segmentului OM. b) Calculează lungimea apotemei VM a piramidei. c) Determină măsura unghiului dintre planele (VBC) și (ABC).
4. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V și latura bazei AB = 10 cm. Unghiul dintre planele (VBC) și (ABC) are măsura de 45°. Calculează lungimea înălțimii VO și lungimea apotemei piramidei.
5. Fie ABCD un pătrat cu latura AB = 6 cm. Pe perpendiculara în A pe planul (ABC) se consideră punctul M, astfel încât MA = 6 cm. a) Demonstrează că planele (MBC) și (MAB) sunt perpendiculare. b) Demonstrează că planele (MAB) și (MAD) sunt perpendiculare. c) Determină măsura unghiului dintre planele (MBC) și (ABC).
6. Acoperișul unei case are două fețe dreptunghiulare egale, care se întâlnesc de-a lungul coamei. Coama este paralelă cu planul orizontal al tavanului. Secțiunea făcută printr-un plan perpendicular pe coamă este un triunghi isoscel cu baza de 12 m (lățimea casei). Coama se află la înălțimea de 2√3 m deasupra planului tavanului. a) Determină măsura unghiului dintre o față a acoperișului și planul tavanului. b) Determină măsura unghiului diedru format de cele două fețe ale acoperișului. Precizează apoi măsura unghiului celor două plane. c) Calculează lățimea unei fețe a acoperișului, măsurată de la coamă până la marginea acoperișului.
7. Fie ABCA'B'C' o prismă triunghiulară regulată cu muchia bazei AB = 8 cm. Unghiul dintre planele (A'BC) și (ABC) are măsura de 45°. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a) Justifică faptul că unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (A'BC) și (ABC) este ∠A'MA. b) Calculează lungimea muchiei laterale AA'.
8. Fie VABC un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm. O este centrul triunghiului ABC, iar M este mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimile segmentelor VM și OM. b) Calculează cosinusul unghiului dintre planele (VBC) și (ABC). c) Calculează tangenta aceluiași unghi.