Plane paralele

1. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Notăm cu O și O' punctele de intersecție ale diagonalelor fețelor ABCD, respectiv A'B'C'D'. Pentru fiecare pereche de plane de mai jos, stabilește dacă planele sunt paralele sau concurente. Pentru planele concurente, scrie dreapta lor de intersecție. a) (ADD') și (ABB'); b) (DCC') și (ABB'); c) (ACC') și (BDD'); d) (A'B'C) și (ABC).

2. Stabilește dacă fiecare dintre propozițiile următoare este adevărată sau falsă. Justifică fiecare răspuns printr-o proprietate din lecție sau printr-un contraexemplu desenat într-un cub. P1: Dacă α || β, a ⊂ α și b ⊂ β, atunci a || b. P2: Dacă α || γ, β || γ și α ≠ β, atunci α || β. P3: Dacă planul α conține două drepte paralele între ele, fiecare paralelă cu planul β, atunci α || β. P4: Dacă α || β, iar un plan π intersectează planele α și β după dreptele a, respectiv b, atunci a || b.

3. Fie VABC o piramidă triunghiulară. Pe muchiile VA, VB și VC se iau punctele M, N, respectiv P, astfel încât VM/VA = VN/VB = VP/VC = 1/3. Demonstrează că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele. Scrie demonstrația folosind teorema de paralelism a două plane.

4. Fie ABCDA'B'C'D' un cub. Demonstrează că planele (A'BD) și (CB'D') sunt paralele.

5. Fie ABCA'B'C' o prismă triunghiulară regulată cu muchia bazei AB = 6 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor laterale AA', BB', respectiv CC'. a) Demonstrează că (MNP) || (ABC). b) Justifică faptul că (MNP) || (A'B'C'). c) Calculează perimetrul triunghiului MNP.

6. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V și latura bazei AB = 10 cm. Prin mijlocul M al muchiei VA se duce un plan paralel cu planul bazei. Acest plan intersectează muchiile VB, VC și VD în punctele N, P, respectiv Q. a) Folosind proprietatea intersecțiilor a două plane paralele cu un al treilea plan, arată că MN || AB. b) Demonstrează că N este mijlocul muchiei VB. c) Demonstrează că patrulaterul MNPQ este pătrat și calculează perimetrul lui.

7. Un raft de bibliotecă are trei polițe orizontale. Fiecare poliță este paralelă cu podeaua camerei. Peretele lateral al raftului este un plan vertical care intersectează fiecare poliță după o muchie. a) Modelează situația în limbaj geometric: notează planele polițelor cu α, β, γ, planul podelei cu π și planul peretelui lateral cu δ. b) Explică, folosind o proprietate din lecție, de ce oricare două polițe sunt paralele între ele. c) Explică de ce muchiile după care peretele lateral intersectează polițele sunt drepte paralele.

8. Fie ABCDA'B'C'D' un cub cu muchia de 6 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AB, AD, respectiv AA'. Punctele Q, R și S sunt mijloacele muchiilor C'D', C'B', respectiv C'C. a) Demonstrează că planele (MNP) și (QRS) sunt paralele. b) Calculează perimetrul triunghiului MNP.