Teorema celor trei perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă, de la un punct la un plan și dintre două plane paralele
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie triunghiul isoscel ABC cu AB = AC și M mijlocul laturii BC. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara PA, PA ⊥ (ABC). Demonstrează că PM ⊥ BC. Precizează teorema folosită și scrie ipotezele ei.
2. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Fie DA ⊥ (ABC), cu DA = 3,6 cm, și AE ⊥ BC, unde E ∈ BC. a) Demonstrează că DE ⊥ BC. b) Calculează distanța de la punctul D la dreapta BC.
3. Fie dreptunghiul ABCD cu AB = 8 cm și AD = 6 cm. Pe planul dreptunghiului se ridică perpendiculara VA, cu VA = 6,4 cm. Construiește perpendiculara din V pe dreapta BD, justifică poziția piciorului ei și calculează distanța de la punctul V la dreapta BD.
4. Considerăm tetraedrul DABC în care triunghiul ABC este echilateral, cu AB = 8 cm, iar DA ⊥ (ABC) și DA = 4 cm. Fie M mijlocul laturii BC și AP ⊥ DM, unde P ∈ DM. a) Demonstrează că AP ⊥ (DBC). b) Calculează distanța de la punctul A la planul (DBC).
5. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V, latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. a) Calculează distanța de la punctul O la planul (VBC). b) Calculează distanța de la punctul A la planul (VBC). Justifică fiecare pas.
6. Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V, muchia laterală VA = 10 cm și muchia bazei AB = 6√3 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, respectiv VC. a) Demonstrează că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele. b) Calculează distanța dintre planele (MNP) și (ABC).
7. Pe planul paralelogramului ABCD se ridică perpendiculara EA, EA ⊥ (ABC). Știind că EB ⊥ BC, demonstrează că ABCD este dreptunghi. Precizează ce teoremă ai folosit.
8. Un teren are forma dreptunghiului ABCD, cu AB = 20 m și AD = 15 m. În colțul A se află un stâlp vertical AP, înalt de 5 m, cu un bec în vârful P. Pe teren există o alee dreaptă de-a lungul diagonalei BD. Electricianul vrea să tragă un cablu întins, de lungime minimă, din vârful P până la alee. a) Calculează lungimea minimă a cablului. b) La ce distanță de colțul B trebuie fixat capătul cablului de pe alee?