Dreapta perpendiculară pe plan. Distanța de la un punct la un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. a) Scrie definiția dreptei perpendiculare pe un plan. b) Enunță teorema care ne permite să arătăm, în practică, că o dreaptă este perpendiculară pe un plan. c) Un tâmplar vrea să verifice dacă un picior de masă este perpendicular pe podea. El așază echerul o singură dată, lângă picior. Explică de ce această verificare nu este suficientă. Spune ce trebuie să facă tâmplarul pentru o verificare corectă.
2. Se consideră afirmația: „Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte paralele dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acel plan.” Stabilește dacă afirmația este adevărată sau falsă. Justifică răspunsul cu un exemplu în cubul ABCDA'B'C'D'. Folosește dreptele AB și DC și dreapta AD'.
3. ABCDA'B'C'D' este un paralelipiped dreptunghic cu AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA' = 5 cm. Calculează, justificând de fiecare dată perpendicularitatea pe plan: a) distanța de la punctul C' la planul (ABC); b) distanța de la punctul D la planul (BCC'); c) distanța de la punctul A' la planul (CDD').
4. ABCD este un dreptunghi cu AB = 8 cm și BC = 6 cm. În punctul A se ridică perpendiculara MA pe planul dreptunghiului, cu MA = 6 cm. a) Demonstrează că BC ⊥ (MAB). b) Deduce că triunghiul MBC este dreptunghic și precizează în ce vârf are unghiul drept. c) Calculează aria triunghiului MBC.
5. ABCA'B'C' este o prismă triunghiulară regulată cu AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AC. Notăm cu N piciorul perpendicularei din M pe dreapta BC. a) Arată că MN ⊥ (BCC'). b) Calculează distanța de la punctul M la planul (BCC').
6. ABCDA'B'C'D' este un cub cu muchia de 10 cm. Notăm cu O centrul feței ABCD (O = AC ∩ BD). a) Demonstrează că BO ⊥ (ACC'). b) Calculează distanța de la punctul B la planul (ACC'). c) Calculează distanța de la punctul O la planul (BCC').
7. O sală de clasă are forma unui paralelipiped dreptunghic. Lungimea este de 5 m, lățimea de 4 m, iar înălțimea de 3 m. În punctul de intersecție a diagonalelor tavanului este prins cablul unei lămpi. Cablul este vertical și are lungimea de 50 cm, iar lampa este la capătul lui. Modelează situația printr-un desen. Calculează distanța de la lampă la fiecare dintre cele 6 fețe ale sălii (podea, tavan și cei patru pereți).
8. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC. În punctul A se ridică perpendiculara VA pe planul (ABC), cu VA = 8 cm. a) Demonstrează că BC ⊥ (VAM). b) Calculează distanța de la punctul V la dreapta BC. c) Fie P piciorul perpendicularei din A pe dreapta VM. Arată că AP ⊥ (VBC). Calculează distanța de la punctul A la planul (VBC).