Dreaptă perpendiculară pe un plan. Distanța de la un punct la un plan. Înălțimea piramidei și a conului circular drept
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabiliți dacă afirmațiile de mai jos sunt adevărate sau false. Justificați fiecare răspuns printr-o proprietate sau printr-un contraexemplu. a. Dacă dreapta d este perpendiculară pe două drepte paralele din planul α, atunci d ⊥ α. b. Două drepte distincte, perpendiculare pe același plan, sunt paralele. c. Dacă d ⊥ α și planul β este paralel cu α, atunci d ⊥ β. d. Dacă M ∉ α, MM′ ⊥ α cu M′ ∈ α și N ∈ α, N ≠ M′, atunci MN > MM′.
2. Fie cubul ABCDA′B′C′D′. a. Demonstrați că AD ⊥ (ABB′) și deduceți că AD ⊥ A′B. b. Demonstrați că AC ⊥ (BDD′) și deduceți că AC ⊥ BD′.
3. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ se cunosc AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA′ = 5 cm. Justificând perpendicularitatea pe plan, determinați: a. d(A′, (ABC)); b. d(C, (ADD′)); c. d(B, (CDD′)).
4. În piramida patrulateră regulată VABCD, AC ∩ BD = {O}, AB = 8√2 cm și VA = 10 cm. Punctul E aparține muchiei VA, astfel încât VE = 3 · AE. a. Arătați că înălțimea piramidei are lungimea VO = 6 cm. b. Demonstrați că BD ⊥ VA. c. Determinați d(E, (ABC)).
5. În piramida triunghiulară regulată VABC, O este centrul bazei, AB = 6√3 cm și VA = 10 cm. a. Explicați de ce înălțimea piramidei cade în punctul O și calculați OA. b. Determinați lungimea înălțimii VO. c. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. Demonstrați că BC ⊥ (VAM) și deduceți că BC ⊥ VA.
6. Un con circular drept are vârful V și baza discul de centru O. Lungimea cercului bazei este 12π cm, iar generatoarea are 10 cm. a. Determinați raza bazei conului. b. Justificați că VO ⊥ OA, unde A este un punct al cercului bazei. c. Calculați înălțimea conului, folosind relația dintre G, R și h.
7. Un cort are forma unui con circular drept. Raza bazei este de 3 m, iar distanța de la vârful cortului până la marginea bazei, măsurată pe pânză (generatoarea), este de 5 m. a. Determinați înălțimea cortului. b. Un copil cu înălțimea de 1,8 m stă în picioare în cort, la 1 m de centrul bazei. Stabiliți dacă el poate sta drept fără să atingă pânza cortului. Justificați răspunsul folosind o secțiune axială a conului.
8. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara MA, cu MA = 6 cm. a. Demonstrați că AC ⊥ (MAB). b. Determinați d(C, (MAB)) și d(B, (MAC)). c. Arătați că MB ⊥ AC. d. Calculați lungimea segmentului MC.