Dreaptă perpendiculară pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei afirmații de mai jos și justificați răspunsul. Pentru afirmațiile false puteți da un contraexemplu. a) Printr-un punct al spațiului se poate construi o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat. b) În spațiu, două drepte distincte, perpendiculare pe aceeași dreaptă, sunt întotdeauna paralele. c) Dacă d ⊥ α și dreapta a este inclusă în planul α, atunci d ⊥ a. d) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe o dreaptă dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acel plan.
2. Considerăm cubul ABCDA'B'C'D'. a) Arătați că A'B ⊥ AD și A'B ⊥ BC. b) Dreptele AD și BC sunt incluse în planul (ABC). Este dreapta A'B perpendiculară pe planul (ABC)? Justificați răspunsul. c) Explicați ce condiție din teorema de perpendicularitate a unei drepte pe un plan nu este îndeplinită în această situație.
3. Considerăm cubul ABCDA'B'C'D'. Scrieți patru drepte determinate de vârfurile cubului care sunt perpendiculare pe planul (ADD'). Pentru una dintre ele, demonstrați perpendicularitatea folosind teorema despre perpendicularitatea pe două drepte concurente din plan.
4. Pătratul ABCD are latura de 6 cm. Pe planul pătratului se ridică perpendiculara MA, M ∉ (ABC), cu MA = 8 cm. a) Demonstrați că MA ⊥ BD. b) Demonstrați că BC ⊥ (MAB) și deduceți că triunghiul MBC este dreptunghic. c) Calculați lungimea segmentului MC.
5. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC, iar D este mijlocul laturii BC. Punctul P nu aparține planului (ABC) și PB = PC. a) Demonstrați că BC ⊥ AD și BC ⊥ PD. b) Demonstrați că BC ⊥ (PAD). c) Deduceți că BC ⊥ PA.
6. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 2 cm, BC = 3 cm și AA' = 6 cm. a) Justificați că CC' ⊥ AC. b) Calculați lungimea diagonalei AC' folosind triunghiul dreptunghic ACC'.
7. Pe un teren plan sunt fixați vertical doi stâlpi, AA' și BB'. Punctele A și B se află pe sol, iar A' și B' sunt vârfurile stâlpilor. Se știe că AA' = 5 m, BB' = 2 m și AB = 4 m. a) Modelați situația printr-un desen în care solul este un plan α și justificați de ce dreptele AA' și BB' sunt paralele. b) Calculați lungimea unui cablu întins în linie dreaptă între vârfurile A' și B'.
8. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AD, D ∉ (ABC), cu AD = 8 cm. a) Demonstrați că AB ⊥ (ACD). b) Deduceți că AB ⊥ CD. c) Calculați perimetrul triunghiului DBC.