Drepte paralele. Unghiul a două drepte
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Stabilește dacă dreptele din fiecare pereche sunt concurente, paralele sau necoplanare. Justifică pe scurt fiecare răspuns. a) AB și C'D'; b) AD și BB'; c) A'C și AC'; d) AB' și DC'; e) AC și B'D'; f) BD și DD'.
2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Determină măsurile unghiurilor următoarelor drepte. Pentru fiecare caz, scrie paralela pe care o folosești. a) ∢(AA', BC); b) ∢(A'B', AD); c) ∢(AB, A'C'); d) ∢(BD, A'C'); e) ∢(AB', BC'); f) ∢(AD', CD').
3. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm și BC = 6√3 cm. a) Demonstrează că AC ∥ A'C'. Folosește faptul că AA'C'C este paralelogram sau teorema „două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele”. b) Determină măsura unghiului dreptelor AB și A'C'.
4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu VA = AB = 10 cm. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor VB și, respectiv, VC. a) Determină măsura unghiului dreptelor VA și CD. b) Determină măsura unghiului dreptelor VB și VD. c) Demonstrează că MN ∥ AD și precizează măsura unghiului dreptelor MN și AD.
5. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C'. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB și, respectiv, AC. Determină măsurile unghiurilor dreptelor: a) MN și B'C'; b) A'B' și AC; c) AA' și BC; d) MN și A'B'. Justifică fiecare răspuns.
6. Punctele M, N, P și Q sunt mijloacele muchiilor AB, BC, CD și, respectiv, DA ale tetraedrului ABCD. a) Demonstrează că MN ∥ QP și că patrulaterul MNPQ este paralelogram. b) Dacă ABCD este tetraedru regulat cu muchia de 8 cm, determină lungimea segmentului MN și măsura unghiului dreptelor MN și MQ.
7. Se consideră prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm și AA' = 6√3 cm. a) Determină măsura unghiului dreptelor AD' și BB'. b) Demonstrează că CB' ∥ DA'. c) Determină măsura unghiului dreptelor CB' și AD'.
8. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Podeaua este dreptunghiul ABCD, cu AB = 8 m și BC = 6 m. Un cablu este întins pe podea, pe diagonala AC. O grindă se află pe tavan, de-a lungul muchiei A'B'. a) Stabilește dacă dreptele AC și A'B' sunt concurente, paralele sau necoplanare. b) Determină lungimea cablului AC. c) Determină cosinusul și sinusul unghiului format de dreptele AC și A'B'.