Piramida, piramida regulată, tetraedrul regulat: reprezentare, elemente caracteristice, desfășurări
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Desenează o piramidă pentagonală și noteaz-o PLANTE (P este vârful). Trasează cu linii întrerupte muchiile care „nu se văd”. Numește vârful, baza, fețele laterale, muchiile laterale și muchiile bazei. Precizează câte muchii și câte fețe are în total piramida.
2. a) O piramidă are baza un poligon cu n laturi. Scrie, în funcție de n, numărul vârfurilor, numărul muchiilor și numărul fețelor piramidei. Știind că o piramidă are 18 muchii, precizează ce poligon are la bază și câte fețe are. b) O piramidă hexagonală regulată are muchia bazei de 5 cm și muchia laterală de 9 cm. Calculează suma lungimilor tuturor muchiilor ei.
3. Suma lungimilor muchiilor tetraedrului regulat ABCD este egală cu 54 cm. Determină lungimea muchiei tetraedrului, perimetrul triunghiului BCD și aria triunghiului ACD. Justifică de ce toate fețele tetraedrului au aceeași arie.
4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu AB = 10 cm și VA = 13 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AB. a) Demonstrează că VM ⊥ AB și calculează lungimea apotemei VM. b) Calculează aria triunghiului VAB. c) Calculează suma lungimilor muchiilor piramidei.
5. Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC cu AB = 6 cm și ∢AVB = 90°. a) Arată că triunghiurile VAB, VBC și VAC sunt dreptunghice isoscele. b) Determină lungimea muchiei laterale VA. c) Calculează perimetrul și aria triunghiului VAB, apoi suma lungimilor muchiilor piramidei.
6. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu AB = VA = 12 cm și AC ∩ BD = {O}. a) Calculează lungimea diagonalei AC. b) Demonstrează că triunghiul VAC este dreptunghic isoscel și precizează măsura unghiului AVC. c) Precizează dreapta de intersecție a planelor (VAC) și (VBD), apoi calculează lungimea segmentului VO și aria triunghiului VAC.
7. Pentru a construi din carton o piramidă patrulateră regulată, un elev desenează desfășurarea ei astfel: un pătrat ABCD cu latura de 10 cm și, pe fiecare latură a pătratului, în exterior, câte un triunghi isoscel cu laturile congruente de 13 cm. Desfășurarea are forma unei „stele” cu patru vârfuri. a) Calculează înălțimea unuia dintre triunghiuri, corespunzătoare laturii pătratului. b) Calculează distanța dintre vârfurile a două triunghiuri construite pe laturi opuse ale pătratului. c) Calculează distanța dintre vârfurile a două triunghiuri construite pe laturi vecine ale pătratului. d) Calculează aria cartonului folosit pentru desfășurare.
8. Un obiect decorativ are forma tetraedrului regulat VABC, cu muchia de 6 cm. O furnică pleacă din punctul B și ajunge în punctul C pe drumul cel mai scurt care trece numai prin fețele VAB și VAC și intersectează muchia VA în punctul M. Pe fiecare față, traiectoria furnicii este rectilinie. Folosind o desfășurare potrivită, determină poziția punctului M pe muchia VA și lungimea drumului parcurs de furnică. Compară acest drum cu traseul B → A → C.