Unghi diedru, unghiul a două plane, plane perpendiculare, secțiuni diagonale și axiale
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'. a) Pentru unghiul diedru format de semiplanele (ABC) și (ABB'), precizează fețele și muchia diedrului. b) Numește un unghi plan corespunzător acestui diedru și explică de ce este unghi plan al diedrului. c) Scrie măsura diedrului. d) Completează: măsura unui unghi diedru aparține intervalului ..., iar măsura unghiului a două plane aparține intervalului ... .
2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm. Determină măsura unghiului format de planele: a) (ABC) și (A'B'C'); b) (ABC) și (ABC'); c) (ACC') și (BDD'). Justifică fiecare răspuns.
3. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 6√3 cm, unde O este centrul bazei. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Arată că ∢VMO este unghi plan corespunzător diedrului format de planele (VBC) și (ABC). b) Determină măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC). c) Calculează lungimea apotemei VM a piramidei. d) Numește o secțiune diagonală a piramidei și calculează aria acesteia.
4. Un con circular drept are raza bazei de 5 cm și generatoarea de 13 cm. a) Precizează ce fel de poligon delimitează secțiunea axială a conului și care sunt lungimile laturilor lui. b) Determină înălțimea conului. c) Calculează aria secțiunii axiale a conului.
5. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este delimitată de un dreptunghi cu aria de 96 cm². Înălțimea cilindrului este de 12 cm. a) Determină raza bazei cilindrului. b) Calculează lungimea diagonalei secțiunii axiale. c) Explică de ce toate secțiunile axiale ale cilindrului au aceeași arie.
6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A. În punctul A se ridică perpendiculara AM pe planul (ABC). a) Demonstrează că planele (MAB) și (ABC) sunt perpendiculare. b) Demonstrează că planele (MAB) și (MAC) sunt perpendiculare. Scrie toate etapele raționamentului și precizează teorema folosită.
7. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' cu AB = 8 cm și AA' = 12 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Demonstrează că A'M ⊥ BC. b) Numește un unghi plan corespunzător diedrului format de semiplanele (ABC) și (A'BC). c) Determină măsura unghiului format de planele (ABC) și (A'BC).
8. Ușa unui dulap are formă dreptunghiulară, cu lățimea de 60 cm, și se rotește în jurul balamalelor, situate pe o dreaptă verticală. Ușa se deschide până când marginea ei liberă ajunge la 60 cm de poziția pe care o avea când ușa era închisă (distanța se măsoară pe orizontală, la aceeași înălțime). a) Modelează situația folosind noțiunea de unghi diedru: precizează fețele și muchia diedrului și explică de ce unghiul format pe orizontală este un unghi plan al diedrului. b) Determină măsura unghiului diedru format de cele două poziții ale ușii. c) La ce distanță de poziția inițială ar trebui să ajungă marginea liberă a ușii pentru ca planul ușii să fie perpendicular pe planul în care se afla ușa închisă?