Drepte paralele, unghiul a două drepte în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. a) Scrieți toate muchiile cubului care sunt paralele cu muchia AB. b) Scrieți toate muchiile cubului care sunt concurente cu dreapta AB. c) Scrieți toate muchiile cubului care sunt necoplanare cu dreapta AB. d) Verificați că numărul total de muchii găsite la a), b) și c) este egal cu numărul muchiilor cubului diferite de AB.
2. În cubul ABCDA′B′C′D′, determinați măsurile unghiurilor formate de perechile de drepte de mai jos. Justificați fiecare răspuns prin construirea unei paralele potrivite. a) AB și CC′; b) AD și B′C′; c) AB și DC′; d) AC și B′D′.
3. În cubul ABCDA′B′C′D′: a) Demonstrați că patrulaterul A′BCD′ este paralelogram și deduceți că A′B ∥ D′C. b) Folosind rezultatul de la punctul a), determinați măsura unghiului format de dreptele A′B și AD′.
4. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 6 cm și BC = 6√3 cm. Determinați măsurile unghiurilor: a) ∢(AC, A′D′); b) ∢(BD, C′D′). Scrieți rezolvarea completă.
5. Se consideră tetraedrul regulat ABCD cu muchia de 8 cm. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele muchiilor AB, BD, DC, respectiv CA. a) Demonstrați că MN ∥ QP. b) Demonstrați că patrulaterul MNPQ este paralelogram. c) Calculați perimetrul patrulaterului MNPQ.
6. Se consideră prisma triunghiulară regulată dreaptă ABCA′B′C′. Determinați măsurile unghiurilor formate de dreptele: a) AB și A′C′; b) AA′ și BC; c) AC și B′C′. Justificați răspunsurile.
7. Rombul ABCD și pătratul ABEF sunt situate în plane diferite, iar ∢ABC = 120°. a) Stabiliți poziția relativă a dreptelor CD și EF și precizați măsura unghiului format de ele. b) Determinați ∢(CD, AF). c) Determinați ∢(EF, BC). d) Determinați ∢(AD, EF).
8. O sală de sport are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu podeaua ABCD, AB = 8 m, BC = 6 m și înălțimea AA′ = 3 m. Un electrician întinde un cablu pe podea, de-a lungul diagonalei AC, și un al doilea cablu de-a lungul muchiei tavanului B′C′. a) Calculați lungimea cablului întins pe AC. b) Stabiliți dacă cele două cabluri sunt situate pe drepte paralele, concurente sau necoplanare. Justificați. c) Calculați cosinusul unghiului format de dreptele AC și B′C′.