Drepte perpendiculare. Dreaptă perpendiculară pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul MNPQM'N'P'Q' (baza MNPQ și fața de sus M'N'P'Q', cu muchiile laterale MM', NN', PP', QQ'). Scrie patru muchii ale cubului care sunt perpendiculare pe dreapta MN, dar necoplanare cu MN. Pentru una dintre ele explică de ce este perpendiculară pe MN.
2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Determină măsura unghiului dintre dreptele: a) AD' și BC; b) AC și B'D'; c) A'C' și B'C. Justifică fiecare răspuns folosind paralele duse prin același punct.
3. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. a) Demonstrează că BD ⊥ (ACC'). b) Folosind rezultatul de la punctul a), arată că BD ⊥ AC'.
4. Triunghiul ABC este dreptunghic în B. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara PA. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Demonstrează că BC ⊥ (PAB). c) Arată că triunghiul PBC este dreptunghic și precizează vârful unghiului drept.
5. Pe planul pătratului ABCD, cu latura de 8 cm, se ridică perpendiculara MA, cu MA = 6 cm. Determină lungimile segmentelor MB, MD și MC. Precizează, de fiecare dată, triunghiul dreptunghic folosit și justifică de ce este dreptunghic.
6. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm. Fie O mijlocul laturii BC. În punctul O se ridică perpendiculara OP pe planul triunghiului, cu OP = 6 cm. Determină lungimile segmentelor PA, PB și PC.
7. Stabilește dacă fiecare afirmație de mai jos este adevărată sau falsă. Justifică răspunsul, folosind o proprietate din lecție sau un contraexemplu desenat pe un cub ABCDA'B'C'D'. a) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe o singură dreaptă dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acel plan. b) Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele. c) Dacă a ⊥ α și b ∥ a, atunci b ⊥ α. d) În spațiu, două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt întotdeauna paralele.
8. Un muncitor montează un stâlp vertical pe un teren plan. Ca să verifice că stâlpul este perpendicular pe teren, el așază un echer pe sol, lângă stâlp, în două poziții diferite, astfel încât laturile echerului de pe sol să fie pe două drepte neparalele care trec prin baza stâlpului. a) Explică, folosind o proprietate din lecție, de ce verificarea pe o singură direcție nu este suficientă, iar verificarea pe două direcții concurente este suficientă. b) Stâlpul are înălțimea de 4 m și este ancorat cu un cablu întins de la vârful stâlpului până la un punct de pe sol aflat la 3 m de baza stâlpului. Determină lungimea cablului.