Unghi diedru, unghiul a două plane, plane perpendiculare, secțiuni diagonale și axiale
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Pentru unghiul diedru format de semiplanele mărginite de dreapta AB, unul care conține punctul C și celălalt care conține punctul B′: a) precizează muchia și fețele diedrului; b) construiește un unghi plan corespunzător diedrului și justifică alegerea; c) determină măsura acestui unghi diedru.
2. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu baza pătratul ABCD de centru O. Se știe că AB = 12 cm și înălțimea VO = 6√3 cm. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Arată că unghiul VMO este unghi plan corespunzător diedrului format de planul unei fețe laterale (VBC) cu planul bazei. b) Determină măsura unghiului dintre planele (VBC) și (ABC).
3. Pe planul dreptunghiului ABCD se ridică perpendiculara MA, unde M nu aparține planului dreptunghiului. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Demonstrează că BC ⊥ (MAB). c) Demonstrează că planele (MAB) și (MBC) sunt perpendiculare.
4. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA′ = 10 cm. a) Precizează ce fel de patrulater este secțiunea diagonală ACC′A′ și justifică. b) Calculează perimetrul și aria secțiunii diagonale ACC′A′.
5. Un cilindru circular drept are raza bazei de 5 cm și înălțimea de 12 cm. a) Precizează forma secțiunii axiale a cilindrului și dimensiunile ei. b) Calculează aria secțiunii axiale. c) Calculează lungimea diagonalei secțiunii axiale.
6. Un con circular drept are generatoarea de 10 cm și raza bazei de 6 cm. a) Precizează natura triunghiului care reprezintă secțiunea axială a conului și lungimile laturilor lui. b) Determină înălțimea conului. c) Calculează aria secțiunii axiale.
7. Triunghiurile isoscele ABC (CA = CB) și ABD (DA = DB) au latura comună AB și sunt situate în plane diferite. Se știe că AB = 12 cm, CA = CB = DA = DB = 10 cm. Fie M mijlocul segmentului AB. a) Arată că unghiul CMD este unghi plan corespunzător diedrului format de semiplanele (ABC) și (ABD), apoi calculează lungimile CM și DM. b) Dacă CD = 8 cm, determină măsura unghiului dintre planele (ABC) și (ABD). c) Ce lungime ar trebui să aibă segmentul CD pentru ca planele (ABC) și (ABD) să fie perpendiculare? Justifică.
8. Un laptop deschis are tastatura și ecranul de forma unor dreptunghiuri care au în comun latura de la balama. Distanța de la balama la marginea din față a tastaturii este de 24 cm, iar distanța de la balama la marginea de sus a ecranului este tot de 24 cm. Pe aceeași parte laterală a laptopului, distanța dintre colțul din față al tastaturii și colțul de sus al ecranului este de 24√3 cm. a) Modelează situația cu ajutorul unui unghi diedru: precizează muchia, fețele și un unghi plan corespunzător. b) Determină măsura unghiului diedru format de ecran și tastatură. c) Determină măsura unghiului dintre planul ecranului și planul tastaturii. Explică de ce rezultatul poate fi diferit de cel de la punctul b).