Ecuații de forma ax² + bx + c = 0, unde a, b, c ∈ ℝ

1. Scrie fiecare ecuație sub forma ax² + bx + c = 0. Apoi precizează coeficienții a, b și c. a) 3x² − 7x + 2 = 0; b) 5 − x² = 0; c) 4x − x² = 0; d) √3·x² − x − 2 = 0; e) (x + 2)² = 3x + 7.

2. Se dă mulțimea A = {−2; 1; 3; √2}. Precizează care dintre elementele mulțimii A sunt soluții ale fiecărei ecuații. Justifică prin înlocuire. a) x² − x − 6 = 0; b) x² − 2 = 0.

3. Rezolvă în ℝ ecuațiile de mai jos, prin scoaterea factorului comun. a) 3x² − 12x = 0; b) 7x² + 21x = 0; c) x² − √5·x = 0; d) 6x² = 4x.

4. Rezolvă în ℝ ecuațiile de mai jos. Adu fiecare ecuație la forma x² = d și discută semnul lui d. a) x² − 49 = 0; b) 3x² − 75 = 0; c) 25x² − 4 = 0; d) 2x² + 18 = 0; e) x² = 12.

5. Calculează discriminantul Δ = b² − 4ac pentru fiecare ecuație. Apoi stabilește, fără a rezolva ecuația, numărul elementelor mulțimii de soluții. a) {x ∈ ℝ | x² − 6x + 5 = 0}; b) {x ∈ ℝ | 4x² + 12x + 9 = 0}; c) {x ∈ ℝ | 2x² + x + 3 = 0}; d) {x ∈ ℝ | x² − 3x − 1 = 0}. e) Determină mulțimea {x ∈ ℤ | 2x² − 5x + 2 = 0}.

6. Rezolvă în ℝ ecuațiile de mai jos, folosind formula x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a). a) x² − 8x + 15 = 0; b) 3x² + 5x − 2 = 0; c) 9x² − 6x + 1 = 0; d) x² − 2x − 1 = 0; e) x² + x + 5 = 0.

7. a) Determină numărul real m, știind că ecuația x² + mx − 8 = 0 are soluția x = 2. Pentru valoarea găsită, află cealaltă soluție a ecuației. b) Determină numărul real m pentru care ecuația x² − 6x + m = 0 are două soluții reale egale. Află apoi aceste soluții. c) Rezolvă ecuația atașată x² − 7x + 12 = 0. Apoi folosește descompunerea ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) pentru a scrie expresia x² − 7x + 12 ca produs de factori.

8. Lungimea unui dreptunghi este cu 5 cm mai mare decât lățimea, iar aria dreptunghiului este 84 cm². a) Notează lățimea cu x și scrie ecuația care modelează problema. b) Rezolvă ecuația și determină dimensiunile dreptunghiului. c) Calculează perimetrul dreptunghiului. d) Explică de ce una dintre soluțiile ecuației nu convine problemei.