Operații cu fracții algebrice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere)

1. Efectuează, după ce scrii condițiile de existență: a) 5a/6 − 2a/9, unde a ∈ ℝ; b) 3/(2x) − 1/(x + 1); c) 2/(x − 3) + 1/(3 − x).

2. Se consideră expresia E(x) = x/(x − 2) + 2/(x + 2) − 8/(x² − 4). a) Determină valorile reale ale lui x pentru care expresia are sens. b) Adu expresia la forma cea mai simplă. Descompune în factori numitorul x² − 4 și numărătorul obținut.

3. Efectuează înmulțirile, după ce scrii condițiile de existență. Descompune în factori și simplifică rezultatul: a) (x² − 9)/(4x) · 2x²/(x² + 3x); b) (x² − 5x + 6)/(x + 1) · (x² − 1)/(x − 2).

4. Efectuează împărțirea (x² − 4x + 4)/(x + 3) : (x² − 4)/(x² + 3x). Scrie toate condițiile de existență, inclusiv cele care asigură existența inversei celei de-a doua fracții. Adu rezultatul la forma cea mai simplă.

5. Efectuează ridicările la putere, după ce scrii condițiile de existență: a) (−2x/(3y²))³; b) ((x + 1)/x)⁻²; c) ((x² − 1)/(x + 1))².

6. Se consideră expresia E(x) = (1/(x − 1) − 1/(x + 1)) : 2/(x² + x). a) Determină valorile reale ale lui x pentru care E(x) are sens. b) Arată că E(x) = x/(x − 1). c) Calculează E(2). d) Determină numerele întregi x pentru care E(x) este număr întreg.

7. Un bazin este umplut de un robinet în x ore, iar de un al doilea robinet în (x + 2) ore, unde x > 0. a) Scrie, sub forma unei fracții algebrice, ce parte din bazin umple fiecare robinet într-o oră. b) Scrie, sub forma cea mai simplă, fracția algebrică ce reprezintă partea din bazin umplută într-o oră de cele două robinete deschise împreună. c) Calculează această parte pentru x = 4. Explică semnificația rezultatului.

8. a) Arată că 1/n − 1/(n + 2) = 2/(n(n + 2)), pentru orice număr natural nenul n. b) Folosind egalitatea de la punctul a), calculează suma S = 2/(1·3) + 2/(3·5) + 2/(5·7) + … + 2/(19·21).