Probleme recapitulative – Calcul algebric în ℝ
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) (x + 1)(x − 4) − (x − 2)² = 2; b) 2x² − 7x + 3 = 0; c) (x − √3)² = 12.
2. Lungimea unui dreptunghi este cu 5 cm mai mare decât lățimea, iar aria dreptunghiului este de 84 cm². Determină dimensiunile dreptunghiului și calculează perimetrul acestuia. Scrie ecuația pe care o folosești și rezolvarea completă.
3. Descompune în factori expresiile: a) 5x² − 20; b) x² − 6x + 9 − y²; c) x² + x − 12; d) x⁴ − 16 (scrie rezultatul ca produs de trei factori).
4. Demonstrează că, pentru orice număr natural n, numărul N = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 este pătratul unui număr natural. (Indicație: grupează convenabil factorii și notează n² + 3n = t.)
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul P(m + 1; m − 1), unde m este un număr real. Determină valorile lui m pentru care distanța de la punctul P la originea reperului este egală cu √10.
6. Se consideră expresia E(x) = (x/(x − 3) − 6x/(x² − 9)) : (x/(x + 1)). a) Determină valorile reale ale lui x pentru care E(x) are sens. b) Arată că E(x) = (x + 1)/(x + 3) pentru toate valorile lui x de la punctul a). c) Calculează E(√2) și scrie rezultatul cu numitorul raționalizat. d) Determină numerele întregi x pentru care E(x) este număr întreg.
7. Se consideră ecuația x² − (m + 3)x + 2m + 2 = 0, unde m este un număr real. a) Rezolvă ecuația pentru m = 4. b) Determină m, știind că x = −1 este soluție a ecuației. c) Arată că x = 2 este soluție a ecuației pentru orice număr real m. d) Determină m pentru care ecuația are două soluții reale egale.
8. Alegem la întâmplare un număr întreg din intervalul (−√10, √30). Care este probabilitatea ca numărul ales să fie soluție a ecuației x² − x − 6 = 0? Justifică răspunsul.