Formule de calcul prescurtat

1. Calculați folosind formulele de calcul prescurtat. Scrieți descompunerea numărului folosită și toate etapele calculului. a) 65²; b) 98²; c) 74 · 66; d) 203 · 197.

2. Calculați folosind formulele de calcul prescurtat: a) (√3 + 1)²; b) (2 − √5)²; c) (3√2 + √3)²; d) (√6 − 2)(√6 + 2); e) (2√5 − 3)(2√5 + 3).

3. Calculați folosind formulele de calcul prescurtat, unde x și y sunt numere reale: a) (x + 5)²; b) (3x − 4)²; c) (5x + 2y)²; d) (3xy − 1)²; e) (4x − 5)(4x + 5); f) (x√3 − 2)(x√3 + 2).

4. Completați spațiile punctate pentru a obține egalități adevărate, pentru orice numere reale x, y, a, b. Scrieți egalitățile complete. a) (3x + ...)² = 9x² + ... + 49; b) (... − 2y)² = 25x² − ... + 4y²; c) (x − ...)(x + ...) = x² − 36; d) (... + ...)(... − ...) = 16a² − 9b².

5. a) Aduceți la forma cea mai simplă expresia E(x) = (2x − 1)² − (x + 2)(x − 2) − 3x(x − 1), unde x este număr real. b) Arătați că valoarea expresiei F(x) = (x + 3)² + (x − 3)² − 2(x − 3)(x + 3) nu depinde de x, oricare ar fi x număr real.

6. Raționalizați numitorii și aduceți rezultatul la forma cea mai simplă: a) 3 / (√5 − √2); b) 4 / (3 + √5); c) Calculați 1 / (√7 + √6) + 1 / (√7 − √6).

7. Știind că x + 1/x = 3, unde x este un număr real nenul, calculați: a) x² + 1/x²; b) x⁴ + 1/x⁴. Justificați fiecare pas folosind formulele de calcul prescurtat.

8. O grădină are forma unui pătrat cu latura de x metri (x > 3). Proprietarul mărește fiecare latură cu 3 m. a) Scrieți, folosind o formulă de calcul prescurtat, expresia ariei noii grădini, desfăcută în sumă. b) Arătați că aria grădinii crește cu (6x + 9) m². c) Știind că aria a crescut cu 51 m², aflați latura inițială și aria inițială a grădinii. d) Un vecin are tot o grădină pătrată de latură x metri. El o transformă într-un dreptunghi: mărește o latură cu 3 m și o micșorează pe cealaltă cu 3 m. Arătați că aria grădinii vecinului scade și precizați cu câți metri pătrați.