Elemente ale geometriei în spațiu – fișă de exerciții pentru evaluare (proiecții, distanțe, unghiuri, perpendicularitate)

1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu AB = 8 cm. a) Determină lungimea proiecției segmentului A'C pe planul (ABC). b) Determină distanța de la punctul A' la dreapta BD. Scrie rezolvarea completă.

2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm și AC ∩ BD = {O}. a) Determină tangenta unghiului format de dreapta A'C cu planul (ABC). b) Demonstrează că A'O ⊥ BD și determină tangenta unghiului diedru format de planele (A'BD) și (ABD). Scrie rezolvarea completă.

3. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, AB = 8 cm și înălțimea VO = 4√3 cm, unde O este centrul bazei. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Determină lungimea apotemei VM a piramidei și lungimea muchiei laterale VA. b) Determină măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC). c) Determină distanța de la punctul O la planul (VBC). Scrie rezolvarea completă.

4. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' cu AB = 6 cm și AA' = 3 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Demonstrează, folosind teorema celor trei perpendiculare, că A'M ⊥ BC. b) Determină distanța de la punctul A' la dreapta BC. c) Determină măsura unghiului format de planele (A'BC) și (ABC). Scrie rezolvarea completă.

5. Se consideră tetraedrul regulat ABCD cu AB = 6 cm. Notăm cu G centrul de greutate al triunghiului BCD. a) Determină distanța de la punctul A la planul (BCD). b) Determină cosinusul unghiului format de dreapta AB cu planul (BCD). Scrie rezolvarea completă.

6. Triunghiul ABC este dreptunghic în B, cu AB = 6 cm și BC = 8 cm. Pe perpendiculara în A pe planul (ABC) se consideră punctul M, astfel încât MA = 6 cm. a) Demonstrează că dreapta BC este perpendiculară pe planul (MAB). b) Determină distanța de la punctul M la dreapta BC. c) Determină distanța de la punctul A la planul (MBC). Scrie rezolvarea completă.

7. O sală de sport are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu lungimea AB = 12 m, lățimea BC = 9 m și înălțimea AA' = 8 m. Un cablu pentru o cameră video este întins în linie dreaptă din colțul B al podelei până în colțul opus D' al tavanului. a) Determină lungimea cablului BD'. b) Determină sinusul unghiului format de cablul BD' cu podeaua (planul (ABC)). Scrie rezolvarea completă.

8. Un stâlp vertical AB, cu înălțimea de 12 m, este fixat pe un teren orizontal în punctul B. Pe teren se află punctele C și D, astfel încât BC = BD = 10 m și CD = 16 m. Punctul M este mijlocul segmentului CD. a) Demonstrează că AM ⊥ CD. b) Determină distanța de la vârful A al stâlpului la dreapta CD. c) Determină tangenta unghiului format de planul (ACD) cu planul terenului. Scrie rezolvarea completă.