Evaluare finală – fișă de exerciții recapitulative (algebră și geometrie)

1. Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℝ | |2x − 3| ≤ 5} și B = (−2; 6). a) Scrie mulțimea A sub formă de interval. b) Determină A ∩ B și A ∪ B, folosind reprezentarea pe axa numerelor. c) Scrie elementele mulțimii A ∩ ℤ.

2. Arată că numărul a = (√5 − 2)² + (2√5 + 1)² este natural. Scrie toate etapele calculului.

3. Se consideră expresia E(x) = (x + 3)² − 2(x − 1)(x + 1) + (x − 3)², unde x este un număr real. a) Arată că valoarea expresiei E(x) nu depinde de x. b) Descompune în factori expresia 9x² − 12x + 4 − y².

4. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6. a) Determină coordonatele punctelor A și B în care reprezentarea geometrică a graficului funcției intersectează axa Ox, respectiv axa Oy. b) Calculează aria triunghiului OAB, unde O este originea sistemului de axe ortogonale. c) Calculează distanța de la punctul O la dreapta AB. d) Determină punctul de pe graficul funcției care are ordonata egală cu opusul abscisei.

5. Un profesor vrea să împartă caiete elevilor unei clase. Dacă dă fiecărui elev câte 3 caiete, îi rămân 12 caiete. Dacă dă fiecărui elev câte 5 caiete, îi lipsesc 20 de caiete. a) Câți elevi sunt în clasă? b) Câte caiete are profesorul? Scrie ecuația care modelează problema și rezolvarea completă.

6. Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația (x − 2)² − (x + 1)(x − 1) ≤ 3x. Scrie mulțimea soluțiilor sub formă de interval, apoi determină cel mai mic număr natural care este soluție a inecuației.

7. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, cu latura bazei AB = 6 cm și înălțimea VO = 4 cm, unde O este centrul bazei. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Calculează lungimea apotemei VM și lungimea muchiei laterale VA. c) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei. d) Determină sinusul unghiului dintre planele (VBC) și (ABC). e) Calculează distanța de la punctul O la planul (VBC).

8. Un bazin pentru apă are forma unui paralelipiped dreptunghic fără capac, cu lungimea de 1,6 m, lățimea de 1,2 m și înălțimea de 1,5 m. a) Calculează câți litri de apă încap în bazin când este plin (1 m³ = 1000 L). b) Bazinul este umplut cu apă până la 2/3 din înălțime, cu o pompă care introduce 40 de litri pe minut. Câte minute funcționează pompa? c) Se vopsesc pe interior pereții laterali și fundul bazinului. Calculează aria suprafeței vopsite. d) Verifică dacă o tijă rigidă cu lungimea de 2,6 m poate fi așezată în întregime în interiorul bazinului. Justifică răspunsul.