Recapitulare finală – Algebră și Geometrie
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. a) Stabilește care dintre următoarele relații sunt adevărate și care sunt false. Justifică fiecare răspuns: i) 3√2 ∈ (4; 5]; ii) −√10 ∈ [−3; +∞); iii) (2 − √3) ∈ (0; 1). b) Se consideră intervalele I₁ = (−3; 5] și I₂ = [−1; 7). Reprezintă-le pe axa numerelor și determină I₁ ∩ I₂ și I₁ ∪ I₂.
2. Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuațiile și scrie mulțimea soluțiilor sub formă de interval: a) |2x − 3| ≤ 5; b) x² − 4x + 4 ≤ 9. c) Determină numerele întregi care sunt soluții comune ale celor două inecuații.
3. Arată că numărul a = (√7 − 2)² + (√7 + 2)² este natural. Scrie toate calculele și precizează formulele de calcul prescurtat folosite.
4. a) Se consideră expresia E(x) = (x + 3)² − (x − 1)(x + 1) − 6x, unde x este număr real. Arată că valoarea expresiei E(x) nu depinde de x. b) Descompune în factori, folosind formulele de calcul prescurtat: i) 9x² − 12x + 4; ii) 16x² − 49; iii) x⁴ − 8x² + 16.
5. Un dreptunghi are perimetrul de 34 cm, iar diagonala lui are lungimea de 13 cm. a) Notează cu a și b lungimile laturilor dreptunghiului și scrie relațiile dintre a și b care rezultă din enunț. b) Folosind formula (a + b)² = a² + 2ab + b², calculează aria dreptunghiului. c) Determină lungimile laturilor dreptunghiului.
6. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 6. a) Determină coordonatele punctelor în care reprezentarea geometrică a graficului funcției intersectează axele Ox și Oy, apoi reprezintă graficul într-un sistem de axe ortogonale. b) Verifică dacă punctul A(−1, 8) aparține graficului funcției f. c) Determină punctul de pe graficul funcției care are abscisa egală cu ordonata. d) Calculează aria triunghiului determinat de graficul funcției și de axele de coordonate.
7. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 4 cm, iar O este centrul feței ABCD. a) Realizează un desen corespunzător. b) Calculează lungimea diagonalei feței AC și lungimea diagonalei cubului AC′. c) Calculează volumul și aria totală a cubului. d) Determină măsura unghiului format de dreptele AC și A′B. e) Demonstrează că AO ⊥ (BDD′B′) și calculează distanța de la punctul A la planul (BDD′B′).
8. Un con circular drept are raza bazei de 5 cm și înălțimea de 12 cm. Notăm cu V vârful conului, cu O centrul bazei și cu A un punct de pe cercul bazei. a) Calculează lungimea generatoarei conului. b) Calculează aria laterală, aria totală și volumul conului. c) Determină sinusul unghiului format de generatoarea VA cu planul bazei.