Evaluare finală – fișă de exerciții recapitulative (clasa a VIII-a)

1. Se consideră intervalele de numere reale I = [−3, 5) și J = (1, +∞). a) Reprezintă cele două intervale pe axa numerelor. b) Determină I ∪ J și I ∩ J. c) Scrie toate numerele întregi care aparțin intervalului I ∩ J.

2. Se consideră numerele reale a = √5 − √3 și b = √15. a) Calculează a². b) Arată că numărul a² + 2b este număr natural. c) Calculează produsul (√5 − √3)(√5 + √3).

3. Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația 2(x − 1) − 3 ≤ 5x + 4. Scrie mulțimea soluțiilor sub formă de interval. Apoi determină numerele întregi negative care sunt soluții ale inecuației.

4. Se consideră expresia E(x) = (x + 3)² − 2(x + 1)(x − 1) + x² − 6x, unde x este număr real. a) Calculează E(0). b) Arată că valoarea expresiei E(x) nu depinde de numărul real x. Scrie rezolvarea completă, folosind formulele de calcul prescurtat.

5. Se consideră expresia E(x) = x/(x − 2) − 8/(x² − 4), unde x este număr real, x ≠ −2 și x ≠ 2. a) Arată că x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2), pentru orice număr real x. b) Arată că E(x) = (x + 4)/(x + 2), pentru orice x ≠ −2 și x ≠ 2. c) Determină numerele naturale n, n ≠ 2, pentru care E(n) este număr natural.

6. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6. a) Calculează f(0) + f(3). b) Determină coordonatele punctelor A și B în care reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axa Ox, respectiv axa Oy, ale sistemului de axe ortogonale xOy. c) Calculează aria triunghiului AOB, unde O este originea sistemului de axe, și distanța de la punctul O la dreapta AB. d) Determină coordonatele punctului P de pe reprezentarea geometrică a graficului funcției f care are ordonata egală cu abscisa.

7. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu baza pătratul ABCD de centru O, cu AB = 8 cm și înălțimea VO = 3 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimea apotemei VM a piramidei. b) Calculează aria totală și volumul piramidei. c) Determină sinusul unghiului format de planele (VBC) și (ABC). d) Determină distanța de la punctul O la planul (VBC).

8. Un vas are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de 5 cm și înălțimea de 12 cm. a) Calculează volumul vasului și verifică dacă în el încape 1 litru de apă (folosește π ≈ 3,14). b) Un con circular drept are aceeași bază și aceeași înălțime ca vasul cilindric. Calculează volumul conului și lungimea generatoarei acestuia. c) Calculează aria laterală a conului. d) De câte ori trebuie golit în vasul cilindric conținutul conului, plin cu apă, pentru a umple complet vasul? Justifică răspunsul.