Evaluare finală – recapitulare: numere reale, calcul algebric, inecuații, funcții și corpuri geometrice
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră numărul a = √48 − 2√3 − √3. Aduceți numărul a la forma cea mai simplă. Stabiliți, cu justificare, căruia dintre intervalele următoare îi aparține: (−1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, +∞).
2. Se consideră expresia E(x) = (x + 3)² − (x − 3)² − 12x + 5, unde x este un număr real. Demonstrați că valoarea expresiei E(x) nu depinde de x. Precizați această valoare.
3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 5 − 2x ≥ 3x − 10. Scrieți mulțimea soluțiilor sub formă de interval. Apoi determinați mulțimea soluțiilor care sunt numere naturale.
4. Se consideră numărul real a = (√5 − 1)/2. a) Demonstrați că a² + a − 1 = 0. b) Calculați valoarea expresiei (a² + a)²⁰²⁵ + 3.
5. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 4. a) Determinați numărul real m pentru care punctul P(m, m) aparține reprezentării geometrice a graficului funcției f. b) Calculați f(−1) + f(2). c) Graficul funcției f intersectează axa Oy în punctul A și axa Ox în punctul B. Determinați coordonatele punctelor A și B. Calculați aria triunghiului AOB, unde O este originea sistemului de axe.
6. Cubul ABCDEFGH are baza ABCD, iar muchiile AE, BF, CG și DH sunt perpendiculare pe planul bazei. Diagonala cubului este AG = 8√3 cm. a) Calculați lungimea muchiei cubului și volumul acestuia. b) Calculați distanța de la punctul E la dreapta BD.
7. O sferă și un con circular drept au razele de aceeași lungime, r = 3 cm. Cele două corpuri au volume egale. a) Calculați volumul sferei. b) Determinați înălțimea conului. c) Calculați aria laterală a conului.
8. Un rezervor de apă are forma unui paralelipiped dreptunghic fără capac. Lungimea lui este de 2 m, lățimea de 1,5 m, iar înălțimea de 1,2 m. a) Calculați câți litri de apă încap în rezervor (1 m³ = 1000 L). b) Rezervorul este gol. O pompă introduce 40 de litri de apă pe minut. Calculați în câte minute se umple rezervorul până la 80% din capacitatea sa. c) Calculați aria totală a tablei folosite pentru construirea rezervorului. Pereții au grosime neglijabilă.