Recapitulare finală. Probleme de sinteză
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră mulțimea A = {x ∈ ℤ | |2x − 1| ≤ 5} și mulțimea P a numerelor prime. a) Scrieți mulțimea A prin enumerarea elementelor. b) Scrieți mulțimile A ∩ ℕ și A ∩ P. c) Scrieți, sub formă de interval, mulțimea B = {x ∈ ℝ | |2x − 1| ≤ 5}.
2. Se consideră numerele reale a = √3 + 1 și b = √3 − 1. a) Demonstrați că produsul a · b este un număr natural. b) Calculați a² + b². c) Demonstrați că numărul a aparține intervalului (2, 3).
3. Se consideră expresia E(x) = [(x + 3)/(x − 3) − (x − 3)/(x + 3)] : 6x/(x² − 9), unde x ∈ ℝ \ {−3, 0, 3}. a) Descompuneți în factori expresia x² − 9. b) Demonstrați că E(x) = 2 pentru orice x ∈ ℝ \ {−3, 0, 3}. c) Demonstrați că, oricare ar fi n ∈ ℕ, numărul m = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 este pătratul unui număr natural.
4. a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (2x − 1)² − (x + 2)² = 0. b) Rezolvați în ℝ inecuația 3(x − 2) − 2(x + 1) < 2x − 5. Scrieți mulțimea soluțiilor sub formă de interval. c) Determinați cel mai mic număr întreg care este soluție a inecuației de la punctul b).
5. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 3, și g : ℝ → ℝ, g(x) = −x + 3. a) Reprezentați geometric graficul funcției f într-un sistem de axe ortogonale xOy. b) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g. c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f și axele de coordonate.
6. Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 8 cm și înălțimea VO = 4√3 cm, unde O este centrul bazei. a) Calculați lungimea apotemei piramidei. b) Determinați măsura unghiului format de planul unei fețe laterale cu planul bazei. c) Calculați aria laterală și volumul piramidei.
7. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 6 cm. a) Calculați lungimea diagonalei A′C a cubului. b) Calculați distanța de la punctul A la dreapta BD. c) Calculați tangenta unghiului format de dreapta A′C cu planul (ABC). d) Demonstrați că dreapta BD este perpendiculară pe planul (ACC′).
8. Un vas în formă de cilindru circular drept are raza bazei de 10 cm și înălțimea de 30 cm. În vas se află apă până la înălțimea de 20 cm. Se introduce în vas o bilă de metal în formă de sferă, cu raza de 6 cm, care se scufundă complet. a) Calculați volumul bilei. b) Calculați cu câți centimetri crește nivelul apei în vas. c) Precizați, justificând răspunsul, dacă apa se revarsă din vas. d) Calculați aria suprafeței sferei.