Recapitulare finală — clasa a VIII-a: intervale și inecuații, calcul algebric, funcții, geometrie în spațiu, arii și volume
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℝ : |2x − 1| ≤ 5} și B = (1, 7]. a) Scrieți mulțimea A sub formă de interval. b) Determinați A ∩ B, A ∪ B și A \ B. c) Câte numere întregi aparțin mulțimii A? Justificați.
2. Se consideră sistemul de inecuații: (x − 1)/2 − (x + 3)/3 ≤ 1 2x − 5 > 3 a) Rezolvați în ℝ fiecare inecuație și scrieți mulțimea soluțiilor sub formă de interval. b) Determinați mulțimea soluțiilor sistemului. c) Câte numere naturale verifică sistemul?
3. Se consideră numerele reale a = 2 + √3 și b = 2 − √3. a) Calculați a + b și a · b. b) Arătați că a² + b² = 14. c) Calculați 1/a + 1/b.
4. Se consideră expresia E(x) = [ (x + 1)/(x − 1) − (x − 1)/(x + 1) ] : 4x/(x + 1)², unde x ∈ ℝ \ {−1, 0, 1}. a) Demonstrați că E(x) = (x + 1)/(x − 1), oricare ar fi x ∈ ℝ \ {−1, 0, 1}. b) Determinați numerele întregi n pentru care E(n) este număr întreg.
5. O grădină are forma unui dreptunghi cu lungimea cu 3 m mai mare decât lățimea și aria de 40 m². a) Notând cu x lățimea grădinii (în metri), scrieți ecuația care modelează situația. b) Rezolvați ecuația și determinați dimensiunile grădinii. c) Calculați perimetrul grădinii și lungimea diagonalei acesteia.
6. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 3 și g : ℝ → ℝ, g(x) = −x + 3. a) Determinați numărul real a pentru care punctul A(a, 5) aparține graficului funcției f. b) Aflați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției f cu axele de coordonate. c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f și de axele de coordonate. d) Determinați coordonatele punctului de intersecție al graficelor celor două funcții.
7. Se consideră cubul ABCDEFGH cu muchia de 6 cm (ABCD este baza inferioară, iar AE, BF, CG, DH sunt muchii laterale). a) Calculați lungimea diagonalei AG a cubului. b) Demonstrați că dreapta BD este perpendiculară pe planul (ACG). c) Determinați măsura unghiului dintre dreptele AE și BG. d) Calculați sinusul unghiului dintre dreapta AG și planul (ABC).
8. O piramidă patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. a) Calculați lungimea apotemei piramidei. b) Calculați aria laterală și aria totală a piramidei. c) Calculați volumul piramidei.