Evaluare sumativă 1 – Fișă de exerciții recapitulative (intervale, calcul algebric, funcții, geometrie în spațiu)

1. Se consideră intervalele A = [−7/2, 3) și B = (−2, 5]. a) Scrieți elementele mulțimii A ∩ ℤ și calculați suma lor. b) Scrieți sub formă de interval mulțimea A ∩ B.

2. Descompuneți în factori expresiile: a) 9x² − 25; b) x² − 6x + 9.

3. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2. a) Determinați abscisa punctului de pe graficul funcției f care are ordonata egală cu 7. b) Verificați dacă punctul B(−1, −5) aparține graficului funcției f. Justificați răspunsul.

4. Fie VABC un tetraedru regulat. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor VB și VC. Determinați măsura unghiului dintre dreptele MN și AB. Justificați răspunsul.

5. Fie ABCDEFGH un paralelipiped dreptunghic cu AB = 8 cm, BC = 5 cm și AE = 6 cm, unde ABCD și EFGH sunt bazele, iar AE este muchie laterală. Calculați distanța de la punctul E la dreapta BC. Justificați de ce segmentul ales reprezintă această distanță.

6. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + 3, și g : ℝ → ℝ, g(x) = −2x + b, unde a și b sunt numere reale. a) Determinați numerele reale a și b, știind că punctul A(1, 5) aparține graficelor ambelor funcții. b) Pentru a = 2, determinați distanța de la originea O a sistemului de axe xOy la graficul funcției f.

7. Se consideră expresia E(x) = (3x − 2)² − 2(x − 4)(x + 4) + (x + 3)², unde x ∈ ℝ. a) Arătați că E(x) = 8x² − 6x + 45, pentru orice număr real x. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația E(x) = 7x² − x + 51.

8. Un cort decorativ are forma unei piramide patrulatere regulate VABCD, de vârf V, cu VA = AB = 8 m. Notăm cu O centrul bazei ABCD. Un fir luminos este întins pe traseul V – M – P, unde M este punctul de pe muchia VC pentru care VM = VC/4, iar P este mijlocul muchiei VB. a) Calculați volumul cortului. b) Calculați aria laterală a cortului. c) Demonstrați că triunghiul VMP este dreptunghic. d) Calculați distanța de la punctul M la planul (ABC).