Evaluare sumativă 4 – Fișă de exerciții recapitulative (intervale, calcul algebric, funcții, corpuri geometrice)

1. Determinați cel mai mare număr natural din intervalul (−1, 2√11). Justificați răspunsul comparând numerele.

2. Descompuneți în factori expresia 6x − 9 − x², unde x este un număr real.

3. Se consideră funcția g : ℝ → ℝ, g(x) = −2x + 3, și punctele A(2, −1) și B(−1, 2). Stabiliți care dintre punctele A și B este situat pe graficul funcției g. Justificați prin calcul.

4. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 6 cm. Calculați distanța de la punctul B la planul (ACC′).

5. Calculați aria totală a unui tetraedru regulat cu muchia de 6 cm.

6. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = mx − 4, unde m ∈ ℝ. a) Determinați numărul real m, știind că graficul funcției f intersectează axa Ox în punctul de abscisă 2. b) Pentru m = 2, calculați aria triunghiului format de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy.

7. Se consideră expresia E(x) = [ (x + 2)/(x − 2) − (x − 2)/(x + 2) ] : 8x/(x² + x − 6), unde x ∈ ℝ \ {−3, −2, 0, 2}. a) Arătați că x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3), pentru orice număr real x. b) Demonstrați că E(x) = (x + 3)/(x + 2), pentru orice x ∈ ℝ \ {−3, −2, 0, 2}.

8. Un vas decorativ are forma unui trunchi de con circular drept. Raza bazei mari este de 8 dm, raza bazei mici este de 4 dm, iar înălțimea este de 3 dm. Fie O și O′ centrele bazei mari și ale bazei mici. Se consideră secțiunea axială ABB′A′ a trunchiului, cu A și B pe cercul bazei mari, și se notează {V} = AA′ ∩ BB′. a) Arătați că generatoarea trunchiului de con este egală cu 5 dm. b) Calculați volumul trunchiului de con. c) Calculați aria totală a conului din care provine trunchiul. d) Calculați lungimea segmentului VM, unde M este mijlocul segmentului OO′. e) Calculați sinusul unghiului dintre dreptele AA′ și BB′.