Evaluare sumativă – Calcul algebric, formule de calcul prescurtat, rapoarte algebrice și ecuații
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Arătați că numărul N = (√3 − 2)² + √48 este număr natural. Scrieți toate etapele calculului.
2. Se consideră a = 2x² − 5x + 3 și b = 3x − (x² + 1), unde x este număr real. a) Calculați a + b și scrieți rezultatul în forma cea mai simplă. b) Demonstrați că a + b = (x − 1)² + 1. c) Justificați că a + b ≥ 1, oricare ar fi numărul real x.
3. Numărul real nenul x verifică relația x − 1/x = 2. a) Calculați x² + 1/x². b) Calculați x⁴ + 1/x⁴. Scrieți rezolvarea completă.
4. Descompuneți în factori expresiile de mai jos și precizați, pentru fiecare, metoda folosită: a) 4x² − 12x + 9; b) (2a + 1)² − 9; c) x³ − 4x.
5. Se consideră fracția F(x) = (x² − 9) / (x² + 6x + 9), unde x este număr real și x ≠ −3. a) Simplificați fracția F(x). b) Determinați numerele întregi x pentru care F(x) este număr întreg.
6. Numărul real x = 2 este soluție a ecuației x² − 3x + m = 0, unde m este un număr real. a) Determinați valoarea lui m. b) Pentru valoarea lui m găsită, rezolvați ecuația în mulțimea numerelor reale, folosind descompunerea în factori.
7. a) Știind că a + b = 9 și a · b = 14, calculați a² + b². b) În aceleași condiții și știind că a > b, calculați a − b și a² − b². c) Un dreptunghi are lungimile laturilor x cm și (x + 2) cm, iar diagonala lui are 10 cm. Determinați valoarea lui x, apoi calculați perimetrul și aria dreptunghiului.
8. Se consideră expresia E(x) = [ (x + 1)/(x − 1) − (x − 1)/(x + 1) ] · (x² − 1)/(2x), unde x ∈ ℝ \ {−1, 0, 1}. a) Arătați că (x + 1)/(x − 1) − (x − 1)/(x + 1) = 4x/(x² − 1), oricare ar fi x ∈ ℝ \ {−1, 1}. b) Demonstrați că valoarea expresiei E(x) nu depinde de x. c) Calculați E(2025).