Evaluare sumativă: perpendicularitate și paralelism în spațiu, distanțe și unghiuri

1. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′, cu AB = 6 cm și AA′ = 3 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. Demonstrați că A′M ⊥ BC și calculați măsura unghiului format de planele (A′BC) și (ABC).

2. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Demonstrați că dreapta BD este perpendiculară pe planul (ACC′), apoi deduceți că BD ⊥ AC′.

3. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AP, cu AP = 3,6 cm. Fie D piciorul înălțimii din A a triunghiului ABC. Calculați lungimea segmentului AD și distanța de la punctul P la dreapta BC. Justificați folosind teorema celor trei perpendiculare.

4. În configurația de la itemul 3 (triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 6 cm, AC = 8 cm, AP ⊥ (ABC), AP = 3,6 cm), demonstrați că planele (PAD) și (PBC) sunt perpendiculare. Apoi calculați distanța de la punctul A la planul (PBC).

5. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA′ = 10 cm. Determinați proiecția segmentului BD′ pe planul (ABC) și lungimea ei. Calculați apoi măsura unghiului format de dreapta BD′ cu planul (ABC).

6. Se consideră tetraedrul regulat ABCD, iar M este mijlocul muchiei CD. Demonstrați că dreapta CD este perpendiculară pe planul (ABM) și deduceți măsura unghiului dreptelor AB și CD.

7. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Demonstrați că dreapta A′C′ este paralelă cu planul (ACD′). Demonstrați apoi că planele (A′BC′) și (ACD′) sunt paralele.

8. Pe acoperișul plan al unei clădiri este montată vertical o antenă AT, cu A pe acoperiș și înălțimea AT = 9 m. Pe acoperiș se află o bară metalică dreaptă BC, astfel încât triunghiul ABC are AB = AC = 13 m și BC = 10 m. Se dorește un cablu care să lege vârful T al antenei de bara BC și să fie cât mai scurt. Modelați situația geometric, precizați punctul de prindere al cablului pe bară și calculați lungimea cablului.