Exersezi și progresezi: descompuneri în factori, formule de calcul prescurtat și ecuații de gradul al II-lea

1. Descompune în factori următoarele expresii algebrice, unde x este număr real: a) 5x(3x − 2) − 4(3x − 2); b) (x + 3)² − 16; c) 25 − (2x + 1)².

2. Scrie termenul care lipsește pentru ca fiecare expresie să se poată restrânge sub forma (a + b)² sau (a − b)². Apoi scrie expresia restrânsă. a) x² + 10x + ....; b) 4a² − .... + 49; c) 9x² − 12x + .... .

3. Descompune în factori, grupând convenabil termenii: a) 2x² − 2x + bx − b; b) x² + 6x + 9 − y².

4. Se consideră expresia algebrică E(x) = x² + 6x + 14, unde x este număr real. a) Arată că E(x) = (x + 3)² + 5, oricare ar fi numărul real x. b) Determină cea mai mică valoare pe care o poate avea E(x). c) Determină numărul real x pentru care se obține această valoare.

5. Arată că expresia algebrică E(x) = (x + 3)² − 2(x + 3)(x − 1) + (x − 1)², unde x este număr real, nu depinde de x. Precizează valoarea expresiei.

6. Determină numerele reale x și y pentru care x² + y² + 6x − 8y + 25 = 0. Scrie membrul stâng ca sumă de pătrate și justifică fiecare pas al rezolvării.

7. Rezolvă în mulțimea numerelor reale următoarele ecuații: a) 3x² − 12x = 0; b) x² − 6x + 9 = 0; c) x² − 2x − 15 = 0; d) x² + 2x + 7 = 0.

8. Un teren are formă de dreptunghi. Lungimea terenului este cu 5 m mai mare decât lățimea, iar aria terenului este de 84 m². a) Notează cu x lățimea terenului, în metri, și scrie ecuația care descrie situația. b) Rezolvă ecuația și determină dimensiunile terenului. c) Calculează lungimea gardului necesar pentru împrejmuirea terenului.