Exersezi și progresezi – Paralelism în spațiu, unghiuri între drepte, secțiuni paralele cu baza
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Realizează un desen corespunzător. Precizează poziția relativă (paralele, concurente sau necoplanare) a următoarelor perechi de drepte și justifică fiecare răspuns: a) AB și C′D′; b) AA′ și BC; c) BD și B′D′; d) A′C și AC′.
2. Se consideră paralelipipedul dreptunghic EFGHE′F′G′H′. Identifică, fără să folosești exemplele altor colegi, câte o pereche formată din: a) o dreaptă și un plan, astfel încât dreapta să fie paralelă cu planul; b) o dreaptă și un plan, astfel încât dreapta să fie conținută în plan; c) o dreaptă și un plan, astfel încât dreapta să intersecteze planul într-un singur punct; d) două plane paralele. Scrie răspunsurile folosind simbolurile ∥, ⊂ și ∩.
3. În cubul ABCDA′B′C′D′, determină măsura unghiului dintre dreptele: a) AB și CC′; b) A′B și AD′; c) AC și B′D′. Pentru fiecare caz, explică ce dreaptă paralelă ai folosit pentru a aduce unghiul într-un singur plan.
4. Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC, cu vârful V și AB = 8 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, respectiv VC. a) Demonstrează că MN ∥ (ABC). b) Demonstrează că (MNP) ∥ (ABC). c) Calculează perimetrul triunghiului MNP.
5. Un cort are forma unei prisme drepte ABCA′B′C′, culcată pe fața dreptunghiulară BCC′B′, care reprezintă podeaua. Baza ABC este un triunghi isoscel cu AB = AC = 2,5 m și BC = 4 m, iar lungimea cortului este AA′ = 3 m. a) Calculează înălțimea cortului, adică distanța de la punctul A la dreapta BC. b) Demonstrează că bara de sus a cortului, AA′, este paralelă cu planul podelei (BCC′). c) Determină măsura unghiului dintre dreptele AA′ și BC.
6. Piramida patrulateră regulată VABCD are muchia laterală VA = 15 cm și muchia bazei AB = 10 cm. Piramida se secționează cu un plan paralel cu planul bazei, care intersectează muchiile VA, VB, VC, VD în punctele A′, B′, C′, respectiv D′, astfel încât VA′ = 6 cm. a) Determină lungimea segmentului A′B′. b) Determină lungimea muchiei laterale AA′ a trunchiului de piramidă obținut. c) Calculează aria secțiunii A′B′C′D′.
7. Stabilește dacă fiecare enunț este adevărat sau fals. Pentru enunțul fals, oferă un contraexemplu folosind un cub ABCDA′B′C′D′; pentru enunțul adevărat, numește proprietatea folosită. a) „Dacă două drepte sunt paralele cu același plan, atunci ele sunt paralele între ele.” b) „Dacă un plan conține două drepte concurente, fiecare paralelă cu un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele.”
8. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Demonstrează că planele (A′BD) și (CB′D′) sunt paralele. Scrie toate etapele demonstrației, în limbaj matematic.