Plane paralele

1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Stabilește care dintre afirmațiile de mai jos sunt adevărate și care sunt false. Justifică fiecare răspuns. a) (ABB') ∥ (DCC'); b) (ABC) ∥ (ADD'); c) (A'B'C') ∥ (ABC); d) (A'BD) ∥ (CB'D').

2. Completează spațiile punctate, astfel încât să obții afirmații adevărate: a) Două plane distincte care au un punct comun au comună o ..... ; spunem că planele sunt ..... . b) Printr-un punct exterior unui plan α se poate construi ..... plan paralel cu planul α. c) Dacă două drepte ..... dintr-un plan α sunt paralele cu un plan β, atunci α ∥ β. d) Două plane distincte, paralele cu un al treilea plan, sunt ..... între ele. e) Dacă un plan γ intersectează planele paralele α și β după dreptele a, respectiv b, atunci dreptele a și b sunt ..... .

3. Se consideră prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AA', BB', respectiv CC'. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Demonstrează că MN ∥ (ABC). c) Demonstrează că planul (MNP) este paralel cu planul (ABC).

4. Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC, cu vârful V și cu AB = 12 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, respectiv VC. a) Demonstrează că (MNP) ∥ (ABC). b) Calculează perimetrul triunghiului MNP.

5. Se consideră planele paralele α și β și un punct O care nu aparține niciunuia dintre ele. Două drepte concurente în O intersectează planul α în punctele A, respectiv B și planul β în punctele C, respectiv D. Punctul A se află între O și C, iar punctul B se află între O și D. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Demonstrează că AB ∥ CD. c) Știind că OA = 4 cm, AC = 6 cm și AB = 5 cm, determină lungimea segmentului CD.

6. Într-o hală, pardoseala și tavanul sunt reprezentate prin planele paralele α și β. Între pardoseală și tavan sunt montate două bare metalice înclinate, paralele între ele. Prima bară are capetele A1 ∈ α și B1 ∈ β, iar a doua are capetele A2 ∈ α și B2 ∈ β. Știind că A1B1 = 3,5 m și A1A2 = 2 m, determină lungimile B1B2 și A2B2. Justifică răspunsul folosind proprietățile planelor paralele.

7. Andrei afirmă: „Dacă o dreaptă d inclusă în planul α este paralelă cu planul β, atunci planele α și β sunt paralele.” a) Folosind cubul ABCDA'B'C'D', dă un contraexemplu care arată că afirmația lui Andrei este falsă. b) Formulează corect o condiție suficientă pentru ca două plane să fie paralele.

8. Se consideră tetraedrul ABCD și punctele M ∈ AB, N ∈ AC și P ∈ AD, astfel încât AM/AB = AN/AC = AP/AD = 1/3. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Demonstrează că (MNP) ∥ (BCD). c) Știind că BC = 9 cm, determină lungimea segmentului MN.