Recapitulare: paralelism și unghiuri în spațiu, secțiuni paralele cu baza
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Precizează poziția relativă a elementelor de mai jos și justifică fiecare răspuns: a) dreptele AB și C′D′; b) dreptele AA′ și BC; c) dreapta BD și planul (A′B′C′); d) dreapta A′C și planul (ABC).
2. Se consideră prisma dreaptă ABCA′B′C′ cu baza triunghi echilateral. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Precizează care dintre afirmațiile de mai jos sunt adevărate și care sunt false: i) AC ∥ A′C′; ii) BB′ ∥ (ACC′); iii) AB′ ∥ (A′B′C′); iv) BC ∥ (A′B′C′). Justifică răspunsurile date.
3. În cubul ABCDA′B′C′D′, punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv BC. a) Demonstrează că MN ∥ A′C′. b) Determină măsura unghiului dintre dreptele MN și A′B′. c) Determină măsura unghiului dintre dreptele MN și BD.
4. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8√3 cm și BC = AA′ = 8 cm. a) Determină lungimile segmentelor AC și AB′. b) Determină măsura unghiului dintre dreptele AB′ și CC′. c) Determină măsura unghiului dintre dreptele BC′ și AD. d) Determină măsura unghiului dintre dreptele AC și A′B′.
5. Se consideră piramida regulată VABCD, cu vârful V și baza pătratul ABCD. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor VA, respectiv VB. a) Demonstrează că MN ∥ (VCD). b) Demonstrează că punctele M, N, C și D sunt coplanare. c) Dacă toate muchiile piramidei au aceeași lungime, determină măsura unghiului dintre dreptele VC și AB.
6. Se consideră punctele necoplanare A, B, C și D. Punctele M, N, P și Q sunt mijloacele segmentelor AB, BC, CD, respectiv DA. a) Realizează un desen corespunzător enunțului. b) Demonstrează că MNPQ este paralelogram. c) Știind că AC = BD, demonstrează că MNPQ este romb.
7. Se consideră trunchiul de piramidă regulată patrulateră ABCDA′B′C′D′, cu baza mare ABCD. Latura bazei mici reprezintă 2/5 din latura bazei mari, iar muchia laterală a trunchiului are lungimea de 9 cm. Determină lungimea muchiei laterale a piramidei din care provine trunchiul.
8. O pâlnie are forma unui con circular drept cu raza bazei de 10 cm și înălțimea de 24 cm. Conul se secționează cu un plan paralel cu planul bazei, situat la 6 cm de vârful conului. a) Determină raza cercului de secțiune. b) Determină aria secțiunii. c) Determină lungimea generatoarei trunchiului de con obținut.