Fracții algebrice. Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice

1. Determină mulțimea de definiție a fiecărei fracții algebrice: A(x) = 5/(x + 3); B(x) = (x + 1)/(2x − 6); C(x) = x/(x² − 9); D(x) = 3/(x² + 4). Pentru fiecare fracție, scrie ecuația „numitor = 0” și rezolv-o.

2. Amplifică fiecare fracție algebrică cu x + 2 și scrie rezultatul cu numărătorul și numitorul desfăcute (fără paranteze): a) 3/x, pentru x ∈ ℝ \ {−2; 0}; b) (x − 1)/(x − 2), pentru x ∈ ℝ \ {−2; 2}; c) (x + 1)/3, pentru x ∈ ℝ \ {−2}.

3. Pentru valorile variabilelor din mulțimea de definiție, simplifică fracțiile algebrice până la forma ireductibilă. Precizează mulțimea de definiție pentru fiecare: a) (6x²y)/(9xy³); b) (5x − 10)/(x² − 4); c) (x² + 6x + 9)/(x² − 9); d) (x² − x)/(2x − 2).

4. Raționalizează numitorii următoarelor fracții și scrie rezultatul în forma cea mai simplă: a) 4/√2; b) 6/(2√3); c) 2/(√5 − √3); d) 1/(√7 + 2).

5. Fie E(x) = (x² − 4x + 4)/(x² − 2x). a) Determină mulțimea de definiție a expresiei E(x). b) Descompune în factori numărătorul și numitorul, apoi scrie E(x) în forma ireductibilă. c) Calculează E(4) folosind forma obținută.

6. Ana a simplificat fracția (x + 6)/(x + 3) astfel: „Simplific 6 cu 3 și obțin (x + 6)/(x + 3) = 2.” a) Verifică rezultatul Anei înlocuind x = 1 în fracția inițială. b) Explică în cuvintele tale greșeala pe care a făcut-o Ana. c) Simplifică acum corect fracția (2x + 6)/(x + 3), precizând mulțimea de definiție.

7. Fracția (x + 3)/(x − 1) a fost amplificată și s-a obținut fracția (x² + ax + 6)/(x² + x − 2). a) Descompune în factori numitorul x² + x − 2 și precizează expresia cu care s-a făcut amplificarea. b) Determină numărul real a. c) Precizează mulțimea de definiție pentru care egalitatea celor două fracții are sens.

8. Un dreptunghi are aria egală cu (x² + 5x + 6) cm² și lungimea egală cu (x + 3) cm, unde x > 0. a) Scrie lățimea dreptunghiului sub forma unei fracții algebrice. b) Simplifică fracția obținută. c) Calculează lățimea și perimetrul dreptunghiului pentru x = 4.