Fracții algebrice; operații cu fracții algebrice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere)
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Determină mulțimea de definiție a fiecărei fracții algebrice. Scrie și condiția pe care o pui numitorului. a) F(x) = (2x + 1)/(x + 6); b) F(x) = (x − 4)/(x² − 16); c) F(x) = 5/(x² + 4); d) F(x) = 3x/[(x + 2)(3x − 1)].
2. Descompune în factori numărătorul și numitorul, apoi simplifică fracția algebrică. a) F(x) = (6x − 12)/(3x² − 6x), x ∈ ℝ \ {0, 2}; b) F(x) = (x² − 25)/(x² + 3x − 10), x ∈ ℝ \ {−5, 2}; c) F(x) = (4x² + 4x + 1)/(4x² − 1), x ∈ ℝ \ {−1/2, 1/2}; d) F(x) = (x² − 5x + 6)/(x² − 4x + 4), x ∈ ℝ \ {2}.
3. Calculează. Simplifică rezultatul acolo unde este posibil. a) (3x + 1)/(x − 2) − (x + 5)/(x − 2), x ∈ ℝ \ {2}; b) 3/(x + 1) + 2/(x − 1), x ∈ ℝ \ {−1, 1}; c) (x + 4)/(x² − 4) − 1/(x − 2), x ∈ ℝ \ {−2, 2}; d) 2x/(x² − 9) + 1/(3 − x), x ∈ ℝ \ {−3, 3}.
4. Calculează produsele. Descompune mai întâi în factori și fă simplificările posibile. a) (3x − 6)/(x² + x) · (x + 1)/(x² − 4), x ∈ ℝ \ {−2, −1, 0, 2}; b) (x² − 6x + 9)/(2x + 8) · (x² − 16)/(x² − x − 6), x ∈ ℝ \ {−4, −2, 3}.
5. Calculează câturile. Scrie fiecare împărțire ca înmulțire cu inversa celei de-a doua fracții, apoi simplifică. a) (x² − 1)/(4x) : (x + 1)/(2x²), x ∈ ℝ \ {−1, 0}; b) (x² + 5x + 6)/(x² − 9) : (x + 2)/(x − 3), x ∈ ℝ \ {−3, −2, 3}.
6. Calculează puterile. Desfă parantezele de la numărător și de la numitor acolo unde este cazul. a) (2x/(x + 3))², x ∈ ℝ \ {−3}; b) (−3/y)³, y ∈ ℝ*; c) ((x − 1)/(2x + 5))⁻¹, x ∈ ℝ \ {−5/2, 1}; d) (x/(x − 2))⁻², x ∈ ℝ \ {0, 2}.
7. a) Știind că x ∈ ℝ* și x + 1/x = 5, calculează x² + 1/x². b) Folosind rezultatul de la punctul a), calculează (x − 1/x)². c) Știind că x ∈ ℝ, x > 0 și x² + 1/x² = 14, calculează x + 1/x. Justifică fiecare pas al calculului.
8. Se consideră expresia E(x) = [(x + 2)/(x − 2) − 8x/(x² − 4)] : (x − 2)/(x² + 4x + 4), unde D este mulțimea numerelor reale x pentru care expresia E(x) are sens. a) Determină mulțimea D. b) Calculează E(3), înlocuind direct x cu 3 în expresie. c) Demonstrează că E(x) = x + 2, pentru orice x ∈ D. d) Determină numerele reale x, x ∈ D, pentru care E(x) · (x − 2) = 12.