Fracții algebrice: valoare numerică, condiții de existență, amplificare și simplificare

1. Se consideră fracția algebrică E(x) = (2x + 1)/(x − 3), x ∈ D, D ⊂ ℝ. a) Calculează valoarea numerică a fracției pentru x = 1 și pentru x = −2. b) Determină mulțimea D a valorilor reale ale lui x pentru care fracția are sens. Justifică răspunsul.

2. Stabilește condițiile de existență pentru fiecare dintre fracțiile algebrice de mai jos: a) 5/(x² − 16); b) (x + 2)/(x² + 5x); c) 3/(x² + 1); d) (x + y)/(x² − 4y²).

3. Se consideră fracția algebrică (x − 1)/(x + 2), unde x ∈ ℝ \ {−2}. Amplifică această fracție, pe rând, cu: a) x, x ≠ 0; b) x − 2, x ≠ 2; c) x + 3, x ≠ −3. Scrie rezultatul fiecărei amplificări, cu numărătorul și numitorul desfăcute în paranteze.

4. Simplifică fracțiile algebrice de mai jos. Descompune mai întâi în factori numărătorul și numitorul. a) 15x³/(10x²), x ≠ 0; b) (x² − 25)/(x² + 5x), x ∈ ℝ \ {−5, 0}; c) (x² − 6x + 9)/(x² − 9), x ∈ ℝ \ {−3, 3}; d) (3a² − 3b²)/(6a + 6b), a + b ≠ 0; e) (x² + 5x + 6)/(x² + 4x + 4), x ≠ −2.

5. Amplifică fracțiile 2/(x − 1), 3/(x + 1) și x/(x² − 1), unde x ∈ ℝ \ {−1, 1}, astfel încât toate trei să aibă același numitor. Precizează numitorul comun și cu ce expresie ai amplificat fiecare fracție.

6. Într-o cutie sunt n bile roșii și n + 3 bile albe, unde n este un număr natural nenul. Se extrage la întâmplare o bilă. a) Scrie fracția algebrică P(n) care exprimă probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie. b) Calculează P(6) și scrie rezultatul sub formă de fracție ireductibilă. c) Arată că P(n) < 1/2, oricare ar fi n ∈ ℕ*.

7. Arată că valoarea fracției algebrice (n² + 3n + 2)/(n + 1) este număr natural, oricare ar fi n ∈ ℕ.

8. Se consideră fracția algebrică E(x) = (x² − 4)/(x² + x − 2). a) Stabilește condițiile de existență ale fracției. b) Simplifică fracția. c) Determină numerele întregi x pentru care E(x) este număr întreg.