Măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice studiate
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 5 cm. a) Identifică proiecția dreptei AB′ pe planul (ABC) și determină măsura unghiului format de dreapta AB′ cu planul (ABC). b) Notează cu O centrul pătratului ABCD. Justifică faptul că ∢A′OA este unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (A′BD) și (ABC). Determină tangenta acestui unghi.
2. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu vârful V. Latura bazei este AB = 8 cm, iar înălțimea este VO = 4√3 cm, unde O este centrul bazei. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Determină tangenta unghiului format de muchia laterală VA cu planul bazei. b) Justifică faptul că VM ⊥ BC și OM ⊥ BC. Determină apoi măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).
3. Un con circular drept are raza bazei de 5 cm și înălțimea de 5√3 cm. a) Calculează lungimea generatoarei conului. b) Determină măsura unghiului format de o generatoare a conului cu planul bazei. c) Determină măsura unghiului format de două generatoare care se află în aceeași secțiune axială. Precizează ce fel de triunghi este secțiunea axială a conului.
4. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA′ = 10 cm. a) Determină măsura unghiului format de diagonala AC′ cu planul (ABC). b) Fie E piciorul perpendicularei din A pe dreapta BD. Arată că A′E ⊥ BD și determină tangenta unghiului format de planele (A′BD) și (ABC).
5. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ cu latura bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA′ = 6√3 cm. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Determină măsura unghiului format de dreapta AB′ cu planul (ABC). b) Justifică faptul că ∢A′MA este unghiul plan corespunzător diedrului format de planele (A′BC) și (ABC). Determină tangenta acestui unghi.
6. Se consideră tetraedrul regulat ABCD cu muchia de 12 cm. Fie O centrul triunghiului ABC și M mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimile segmentelor AO și DO. b) Determină sinusul unghiului format de muchia DA cu planul (ABC). c) Determină cosinusul unghiului format de planele (DBC) și (ABC).
7. Se consideră piramida hexagonală regulată VABCDEF cu vârful V. Latura bazei este AB = 6 cm, iar înălțimea este VO = 6 cm, unde O este centrul bazei. Fie M mijlocul muchiei BC. a) Determină măsura unghiului format de muchia laterală VA cu planul bazei. b) Calculează lungimea segmentului OM. c) Determină tangenta unghiului format de fața laterală (VBC) cu planul bazei.
8. Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate VABCD, fără bază. Baza are latura de 4 m și este așezată pe sol. Fiecare față laterală a cortului formează cu solul un unghi de 60°. a) Realizează un desen al situației. Indică pe desen unghiul dintre o față laterală și planul solului. b) Calculează înălțimea cortului. c) Calculează lungimea unei muchii laterale a cortului. d) Calculează câți metri pătrați de pânză sunt necesari pentru fețele laterale ale cortului.