Paralelism: drepte paralele, unghiul a două drepte
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie ABCDA'B'C'D' un cub. Precizează poziția relativă (paralele, concurente sau necoplanare) a fiecărei perechi de drepte și justifică răspunsul: a) AB și C'D'; b) AB și CC'; c) AC și BD; d) A'D și B'C.
2. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă. Justifică fiecare răspuns printr-o teoremă, o definiție sau un contraexemplu pe un cub ABCDA'B'C'D'. a) În spațiu, dacă a || c și b || c, atunci a || b. b) În spațiu, două drepte care nu au niciun punct comun sunt paralele. c) În spațiu, două drepte perpendiculare sunt întotdeauna concurente. d) Dacă dreptele a și b sunt paralele, atunci măsura unghiului dintre ele este 0°.
3. Fie ABCDA'B'C'D' un paralelipiped dreptunghic cu AB = 4√3 cm, BC = 4 cm și AA' = 4 cm. Determină măsura fiecăruia dintre unghiurile: a) (AB, C'D'); b) (AA', CD); c) (A'C', BC); d) (BD, D'C').
4. Fie ABCDA'B'C'D' un cub. Determină măsura fiecăruia dintre unghiurile: a) (BC', A'D); b) (A'C', B'C); c) (AB, D'C'). Pentru fiecare unghi, precizează ce dreaptă paralelă ai folosit.
5. Fie ABCD un tetraedru în care AB = CD = 10 cm, iar măsura unghiului dintre dreptele AB și CD este 60°. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele muchiilor AC, BC, BD, respectiv AD. a) Demonstrează că MN || AB și MQ || CD. b) Arată că patrulaterul MNPQ este romb. c) Calculează aria rombului MNPQ.
6. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu vârful V, cu toate muchiile egale cu 6 cm. Notăm cu O centrul bazei și cu M mijlocul muchiei VB. a) Demonstrează că OM || VD. b) Determină măsura unghiurilor (VA, CD) și (OM, CD). c) Determină măsura unghiului (VA, VC).
7. Fie ABCA'B'C' o prismă triunghiulară regulată cu AB = 6 cm și AA' = 6√3 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BC. Determină măsura fiecăruia dintre unghiurile: a) (A'B', BC); b) (AM, B'C'); c) (AA', BC').
8. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Podeaua este dreptunghiul ABCD, cu AB = 4 m și AD = 4√3 m, iar înălțimea camerei este AA' = 3 m. Pe tavan se montează o bară de lumini de-a lungul diagonalei A'C'. a) Modelează situația: numește o dreaptă de pe podea paralelă cu bara și justifică paralelismul. b) Determină măsura unghiului dintre dreapta bării și dreapta AD (marginea podelei). c) Determină măsura unghiului dintre dreapta bării și muchia verticală BB'.