Paralelism și unghiuri în spațiu – fișă de evaluare, remediere și consolidare

1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Stabiliți poziția relativă (paralele, concurente sau necoplanare) a următoarelor perechi de drepte și justificați fiecare răspuns: a) A'B' și DC; b) AA' și BC; c) BD și B'D'; d) AC' și A'C.

2. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Determinați măsurile unghiurilor dintre dreptele: a) AA' și B'C'; b) A'D și BC; c) AB' și BD; d) A'C' și BD. Pentru fiecare unghi, precizați dreapta paralelă folosită pentru a-l aduce într-un singur plan.

3. Se consideră prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm și AA' = 6√3 cm. Determinați: a) măsura unghiului dintre dreptele BC' și AD; b) măsura unghiului dintre dreptele AD' și B'C.

4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor VB, respectiv VC. a) Demonstrați că MN ∥ (ABC). b) Demonstrați că MN ∥ (VAD).

5. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'. Demonstrați că planele (A'BD) și (CB'D') sunt paralele.

6. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu AB = 12 cm. Pe muchia VA se ia punctul M astfel încât VM = (1/3)·VA. Prin M se construiește un plan paralel cu planul bazei, care intersectează muchiile VB, VC și VD în punctele N, P, respectiv Q. a) Justificați că MNPQ este un pătrat. b) Calculați aria secțiunii MNPQ. c) Calculați raportul dintre aria secțiunii MNPQ și aria bazei ABCD.

7. Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C', care are toate muchiile congruente. Punctele D și E sunt mijloacele muchiilor AC, respectiv CC'. a) Demonstrați că DE ∥ (AB'C'). b) Determinați măsura unghiului dintre dreptele DE și A'C.

8. O piesă decorativă are forma unui tetraedru regulat ABCD cu muchia de 10 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AB, AC, respectiv AD. Se taie piesa după planul (MNP). a) Demonstrați că planul de tăiere (MNP) este paralel cu planul (BCD). b) Calculați perimetrul și aria triunghiului MNP, obținut ca secțiune.