Perpendicularitate: drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe un plan
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Fie tetraedrul ABCD cu AB = 9 cm, BC = 12 cm, AC = 15 cm, BD = 40 cm și AD = 41 cm. a) Demonstrează că AB ⊥ (BCD). b) Determină măsura unghiului dintre dreptele AB și CD.
2. Fie dreptunghiul ABCD cu AB = 12 cm și BC = 9 cm. Pe planul dreptunghiului se ridică perpendiculara EA, cu E ∉ (ABC) și EA = 8 cm. a) Calculează lungimile segmentelor EB, ED și EC. b) Determină măsura unghiului dintre dreptele EA și BD. Justifică răspunsul.
3. Fie cubul ABCDA'B'C'D'. Stabilește dacă fiecare dintre următoarele propoziții este adevărată sau falsă și justifică fiecare răspuns: a) BB' ⊥ (ABC); b) AC ⊥ (BDD'); c) A'B ⊥ (ABC); d) B'C' ⊥ (ABB').
4. Fie triunghiul echilateral ABC cu latura de 6 cm și G centrul său de greutate. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara VG, cu V ∉ (ABC) și VG = 4 cm. a) Demonstrează că VA = VB = VC. b) Calculează lungimea segmentului VA.
5. Fie triunghiul isoscel ABC cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm, iar M este mijlocul laturii BC. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara PA, cu P ∉ (ABC) și PA = 6 cm. a) Demonstrează că BC ⊥ (PAM). b) Arată că PM ⊥ BC. c) Calculează lungimea segmentului PM.
6. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB = 6 cm, AD = 2 cm și AA' = 3 cm. a) Explică de ce CC' ⊥ (ABC) și deduce că triunghiul ACC' este dreptunghic. b) Calculează lungimea diagonalei AC'.
7. Un stâlp AB are baza A pe sol, iar înălțimea lui este AB = 12 m. Pentru a verifica dacă stâlpul este vertical, adică perpendicular pe planul solului, un muncitor întinde două sfori din vârful B până în punctele C și D de pe sol. Punctele C, A și D nu sunt coliniare. Muncitorul măsoară AC = 5 m, AD = 9 m, BC = 13 m și BD = 15 m. a) Demonstrează că stâlpul este perpendicular pe planul solului. b) Explică de ce au fost suficiente măsurători pe două direcții de pe sol și nu pe toate dreptele din planul solului.
8. Fie prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' cu muchia bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA' = 8 cm. Punctul M este mijlocul laturii BC. a) Demonstrează că AM ⊥ (BCC'). b) Determină măsura unghiului dintre dreptele AM și B'C'. c) Calculează lungimea segmentului A'M.