Recapitulare: proiecții, unghiuri și distanțe în spațiu
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia AB = 6 cm. a) Precizează proiecția segmentului A'C pe planul (ABC) și calculează lungimea acesteia. b) Calculează tangenta unghiului format de dreapta A'C cu planul (ABC).
2. Un segment MN, cu lungimea de 10 cm, formează cu planul α un unghi de 30°. Calculează lungimea proiecției M'N' a segmentului MN pe planul α. Justifică folosind un triunghi dreptunghic potrivit.
3. Pe planul pătratului ABCD, cu AB = 6 cm, se ridică perpendiculara PA, cu PA = 3√2 cm. Notăm cu O punctul de intersecție a diagonalelor pătratului. Arată că PO ⊥ BD și calculează măsura unghiului format de planele (ABC) și (PBD).
4. Piramida patrulateră regulată VABCD, cu vârful V, are latura bazei AB = 8 cm și înălțimea VO = 4√3 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a) Calculează lungimea apotemei VM a piramidei. b) Calculează măsura unghiului format de planul (VBC) cu planul bazei (ABC).
5. Pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB = 8 cm și AD = 6 cm, se ridică perpendiculara MA, cu MA = 6 cm. Folosind teorema celor trei perpendiculare, calculează: a) distanța de la punctul M la dreapta BC; b) distanța de la punctul M la dreapta CD.
6. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA' = 6,4 cm. Fie N piciorul perpendicularei din A pe dreapta BD. a) Calculează lungimea segmentului AN. b) Calculează distanța de la punctul A' la dreapta BD. c) Calculează tangenta unghiului format de planele (A'BD) și (ABD).
7. Prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' are muchia bazei AB = 6 cm și muchia laterală AA' = 3 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a) Calculează distanța de la punctul A' la dreapta BC. b) Calculează măsura unghiului format de planele (A'BC) și (ABC).
8. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB = 5 m, BC = 4 m și înălțimea AA' = 3 m. a) Calculează lungimea unui cablu întins în linie dreaptă între colțurile A (pe podea) și C' (în tavan). b) Un păianjen merge pe pereții (ABB'A') și (BCC'B') de la punctul A la punctul C', pe drumul cel mai scurt, intersectând muchia BB'. Arată că lungimea acestui drum este mai mică de 9,5 m.