Perpendicularitate în spațiu și distanțe: fișă de evaluare, remediere, consolidare și aprofundare
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră prisma patrulateră regulată ABCDA'B'C'D', cu AB = 6 cm și BC' = 10 cm. a) Numiți o dreaptă care conține o muchie a prismei și este perpendiculară pe planul (ADD'). Justificați alegerea. b) Calculați lungimea înălțimii prismei. c) Calculați distanța de la punctul D' la planul (ABC). d) Calculați distanța dintre planele (ABB') și (DCC').
2. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 10 cm și BC = 12 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara AD, cu D ∉ (ABC) și AD = 6 cm. a) Demonstrați că BC ⊥ (DAM). b) Calculați lungimea segmentului DM. c) Calculați lungimile segmentelor DB și DC. d) Calculați aria triunghiului DBC.
3. Pe planul pătratului ABCD, cu AB = 6 cm, se ridică perpendiculara MA, cu M ∉ (ABC) și MA = 6 cm. a) Demonstrați că BC ⊥ (MAB). b) Demonstrați că triunghiul MBC este dreptunghic în B. c) Calculați lungimea segmentului MC. d) Construiți AE ⊥ MB, cu E ∈ MB. Demonstrați că AE ⊥ (MBC) și calculați distanța de la punctul A la planul (MBC).
4. Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD, cu baza ABCD. Punctul O este centrul bazei, iar M este mijlocul muchiei BC. Se cunosc AB = 12 cm și VO = 8 cm. a) Calculați lungimea apotemei piramidei. b) Calculați lungimea muchiei laterale VA. c) Demonstrați că (VBC) ⊥ (VOM). d) Construiți OP ⊥ VM, cu P ∈ VM. Demonstrați că OP ⊥ (VBC) și calculați lungimea segmentului OP.
5. Pe planul triunghiului ABC se ridică perpendiculara AD, cu D ∉ (ABC). Se cunosc AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm și DB = 10 cm. a) Calculați lungimea segmentului AD. b) Demonstrați că triunghiul ABC este dreptunghic. c) Demonstrați că CB ⊥ BD. d) Calculați lungimea segmentului DC în două moduri diferite și verificați că obțineți același rezultat.
6. Un stâlp vertical, perpendicular pe terenul orizontal, are înălțimea de 12 m. Vârful stâlpului este fixat cu trei cabluri întinse, prinse de sol în punctele A, B și C. Fiecare punct se află la 9 m de baza stâlpului. a) Modelați situația printr-o configurație geometrică și explicați de ce triunghiul format de stâlp, un cablu și segmentul de pe sol este dreptunghic. b) Calculați lungimea unui cablu. c) Calculați lungimea totală a celor trei cabluri. d) Punctele A, B și C formează un triunghi echilateral, iar baza stâlpului este centrul acestui triunghi. Calculați distanța dintre două puncte de prindere.
7. Se consideră cubul ABCDA'B'C'D', cu muchia de 4 cm. a) Demonstrați că B'C' ⊥ (ABB'). b) Demonstrați că triunghiul AB'C' este dreptunghic și precizați vârful unghiului drept. c) Calculați lungimea diagonalei AC' a cubului. d) Demonstrați că AC ⊥ (BDD') și calculați distanța de la punctul C la planul (BDD').
8. Se consideră triunghiul ABC, cu AB = 6 cm, AC = 8 cm și BC = 10 cm. Dreapta d este perpendiculară în A pe planul triunghiului. Fie E piciorul perpendicularei din A pe BC. a) Demonstrați că triunghiul ABC este dreptunghic și calculați lungimea segmentului AE. b) Fie D un punct oarecare al dreptei d, D ≠ A. Demonstrați că DE ⊥ BC. c) Determinați lungimea segmentului AD, cu D ∈ d, pentru care aria triunghiului DBC este egală cu 40 cm².