Piramida: elemente, piramida regulată, apotema, tetraedrul
Disciplina: MatematicăClasa: a 8-a
Nume elev: ____________________Data: ____________
1. Se consideră piramida MNPQRS, în care M este vârful piramidei. Desenați piramida și precizați: a) baza piramidei și tipul piramidei; b) muchiile laterale; c) muchiile bazei; d) fețele laterale; e) numărul total de muchii al piramidei.
2. O piramidă are ca bază un poligon cu n laturi. a) Exprimați în funcție de n numărul de vârfuri (v), numărul de muchii (m) și numărul de fețe (f) ale piramidei. b) Verificați, folosind expresiile obținute, că v + f − m = 2. c) O piramidă are 14 muchii. Stabiliți tipul piramidei și numărul ei de fețe.
3. Desenați piramida patrulateră regulată VABCD, cu AB = 10 cm și VA = 13 cm. Fie VM apotema corespunzătoare feței VBC, cu M ∈ BC. a) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei. b) Justificați de ce M este mijlocul segmentului BC. c) Calculați lungimea apotemei VM. d) Calculați perimetrul și aria triunghiului VBC.
4. În piramida triunghiulară regulată SABC, de bază ABC, fiecare muchie laterală are lungimea egală cu de 1,5 ori lungimea unei muchii a bazei. Suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei este de 60 cm. a) Determinați lungimea muchiei bazei și lungimea muchiei laterale. b) Calculați lungimea apotemei piramidei.
5. Se consideră piramida hexagonală regulată VABCDEF, cu muchia bazei AB = 10 cm și muchia laterală VA = 13 cm. a) Calculați suma lungimilor muchiilor laterale și suma lungimilor muchiilor bazei, apoi diferența dintre ele. b) Calculați lungimea apotemei piramidei. c) Știind că diagonala AD a hexagonului regulat are lungimea egală cu dublul laturii, calculați perimetrul triunghiului VAD.
6. a) În piramida triunghiulară regulată VABC se cunosc AB = 6 cm și apotema VM = 3√3 cm, unde M este mijlocul lui BC. Demonstrați că VABC este tetraedru regulat. b) Andrei afirmă că poate construi o piramidă hexagonală regulată în care toate muchiile (laterale și ale bazei) au aceeași lungime. Are dreptate? Justificați răspunsul.
7. Se consideră piramida patrulateră VABCD și punctul O, intersecția diagonalelor bazei. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor de mai jos și justificați fiecare propoziție falsă: a) C ∈ (VAC); b) VB ⊂ (ABC); c) intersecția planelor (VAB) și (VCD) conține punctul V; d) dreptele VA și CD sunt coplanare; e) O ∈ (VBD); f) (VAC) ∩ (VBD) = VO; g) VO ∩ (ABC) = {O}.
8. Pentru un proiect, Maria desenează pe un carton un pătrat cu latura de 6 cm și, pe fiecare latură a pătratului, în exteriorul lui, câte un triunghi isoscel cu laturile congruente de 5 cm. Apoi decupează figura și o pliază, obținând o piramidă. a) Ce fel de piramidă obține Maria? Justificați. b) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei. c) Calculați aria cartonului folosit pentru desfășurare (suprafața laterală și baza).