Piramida, piramida regulată, tetraedrul regulat

1. a) Desenați o piramidă hexagonală VABCDEF. Precizați numărul vârfurilor (v), al fețelor (f) și al muchiilor (m) și calculați N = v + f – m. b) O piramidă are în total 20 de muchii. Ce poligon este baza ei? Câte vârfuri și câte fețe are această piramidă? Justificați.

2. Stabiliți dacă afirmațiile de mai jos sunt adevărate sau false. Justificați fiecare răspuns. a) Fețele laterale ale oricărei piramide regulate sunt triunghiuri echilaterale. b) O piramidă cu 10 muchii are baza un pentagon. c) Un tetraedru regulat are 6 muchii congruente. d) Baza unei piramide patrulatere regulate poate fi un dreptunghi care nu este pătrat.

3. Precizați ce corp geometric se obține prin plierea fiecăreia dintre desfășurările descrise mai jos. Justificați răspunsul. a) Patru triunghiuri echilaterale congruente, așezate astfel încât unul dintre ele are pe fiecare latură lipit câte unul dintre celelalte trei. b) Un hexagon regulat cu latura de 4 cm, având pe fiecare latură lipit câte un triunghi isoscel cu laturile congruente de 7 cm. c) Un pătrat cu latura de 5 cm, având pe fiecare latură lipit câte un triunghi echilateral cu latura de 5 cm.

4. Un tetraedru regulat ABCD are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 30 cm. a) Determinați lungimea unei muchii. b) Calculați aria feței BCD. c) Calculați aria desfășurării tetraedrului.

5. În piramida patrulateră regulată VABCD, muchia bazei este AB = 10 cm, iar muchia laterală este VA = 13 cm. Notăm cu M mijlocul muchiei BC. a) Explicați de ce VM ⊥ BC. b) Calculați lungimea segmentului VM. c) Calculați aria triunghiului VBC și suma ariilor celor patru fețe laterale.

6. O piramidă triunghiulară regulată VABC are perimetrul bazei egal cu 48 cm, iar muchia laterală VA = 17 cm. a) Determinați lungimea muchiei bazei. b) Calculați aria bazei ABC. c) Calculați aria feței laterale VAB.

7. Piramida hexagonală regulată VABCDEF are muchia bazei AB = 10 cm și muchia laterală VA = 26 cm. Fie O centrul hexagonului ABCDEF. a) Arătați că AD = 20 cm. b) Calculați perimetrul triunghiului VAD. c) Demonstrați că VO ⊥ AD și calculați aria triunghiului VAD.

8. Un ornament are forma unui tetraedru regulat ABCD cu muchia de 6 dm. O furnică pornește din vârful C și ajunge în vârful D, deplasându-se pe suprafața ornamentului și traversând muchia AB. a) Desenați desfășurarea fețelor ABC și ABD într-un același plan și explicați pe ce drum furnica parcurge cea mai scurtă distanță. b) Calculați lungimea drumului minim. c) Arătați că lungimea drumului minim este mai mică decât 10,5 dm.